Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1，0)、B(2，0)，與y軸交于點C(0，﹣2)，頂點為P

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，若直線PM與BC交于Q，且sin∠CQP＝，求點M的坐標；

（3）將拋物線平移至頂點為坐標原點，過F(0，)的直線交拋物線于G、H，GO交直線y＝﹣于點N，求證：HN∥y軸．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）M(，)；（3）見解析

【解析】

（1）函數(shù)的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），即可求解；

（2）過點C作PM的平行線交x軸于點H，過點H作HG⊥BC于點G，求出點H（，0），確定直線PQ的表達式，即可求解．

（3）直線HG的表達式為：y＝x2x，則點N的坐標為（﹣，﹣），由一元二次方程根與系數(shù)的關系得：x1x2＝﹣，則x1＝﹣，即可求解．

（1）函數(shù)的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），

故﹣2a＝﹣2，解得：a＝1，

故函數(shù)的表達式為：y＝x2﹣x﹣2；

（2）過點C作PM的平行線交x軸于點H，過點H作HG⊥BC于點G，

則∠HCB＝∠CQP，

∵OB＝OC＝2，

∴∠OBC＝45°，

設：OH＝m，則BH＝2﹣m，HG＝BHsin∠OBC＝（2﹣m），HC＝，

sin∠HCB＝＝sin∠CQP＝，即：＝，

解得：m＝（不合題意的值已舍去），則點H（，0），

則直線CH表達式中的k值為：3，

設直線PQ的表達式為：y＝3x+n，

將點（，﹣）的坐標代入上式并解得：

直線PM的表達式為：y＝3x﹣…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝或（舍去），

故點M（，）；

（3）新函數(shù)的表達式為：y＝x2…③，

設點H、G的坐標分別為（x1，x12）、（x2，x22），

則直線HG的表達式為：y＝x2x，

則點N的坐標為（﹣，﹣）；

設直線HG的表達式為：y＝kx+…④，

聯(lián)立③④并整理得：x2﹣kx﹣＝0，

則x1x2＝﹣，x1＝﹣

則點H的橫坐標為：﹣，

點H、N的橫坐標均為：﹣，

故HN∥y軸．