【題目】如圖①,在平面直角坐標系中,A(a,0)C(b,2),且滿足(a+2)2+=0,過CCBx軸于B

(1)求三角形ABC的面積;

(2)如圖②,若過BBDACy軸于D,且AE,DE分別平分∠CAB,∠ODB,求∠AED的度數(shù);

(3)y軸上是否存在點P,使得三角形ACP和三角形ABC的面積相等?若存在,求出P點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)4;(2)AED=45°;(3)P(0,-1)(03).

【解析】

1)先依據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可求得a、b的值,從而可得到點A、點B和點C的坐標,接下來,依據(jù)三角形的面積公式求解即可;
2)如圖甲所示:過EEFAC.首先依據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠ODB=6,∠CAB=5,接下來,依據(jù)平行公理的推理可得到BDACEF,然后,依據(jù)平行線的性質(zhì)可得到∠1=3,∠2=4,然后,依據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到∠3= CAB,∠4=ODB,最后,依據(jù)∠AED=1+2=3+4求解即可;
3)①當Py軸正半軸上時,設(shè)點P0,t),分別過點P,A,BMNx軸,ANy軸,BMy軸,交于點MN,然后,用含t的式子表示出ANCM的長,然后依據(jù)S三角形ACP=S梯形MNAC-S三角形ANP-S三角形CMP列出關(guān)于t的方程求解即可;②當Py軸負半軸上時,如圖丙分別過點P,A,BMNx軸,ANy軸,BMy軸,交于點M,N,設(shè)點P0,t),然后用含t的式子表示出AN、CM的長,最后,依據(jù)S三角形ACP=S梯形MNAC-S三角形ANP-S三角形CMP列方程求解即可.

解:(1)(a+2)2+=0

a+2=0,b-2=0,

a=-2b=2,

CBAB,

A(-2,0)B(2,0)C(2,2),

∴△ABC的面積=×2×4=4;

(2)CB//y軸,BD//AC,

∴∠CAB=5,∠ODB=6,∠CAB+ODB=5+6=90°,

EEF//AC,如圖①

BD//AC,

BD//AC//EF,

AEDE分別平分∠CAB、∠ODB

∴∠3=CAB=1,∠4=ODB=2,

∴∠AED=1+2=(CAB+ODB)=45°

(3)①當Py軸正半軸上時,如圖②,

設(shè)P(0t),過PMN//x軸,AN//y軸,BM//y軸,

SAPC=S梯形MNAC-SCMP-SANP=4,

-t-(t-2)=4,

解得:t=3

②當Py軸負半軸上時,如圖③,設(shè)P(0,t),過PMN//x軸,AN//y軸,BM//y軸,

SAPC=S梯形MNAC-SANP-SCMP=4

+t-(2-t)=4,

解得:t= -1,

P(0,-1)(03).

故答案為(1)4;(2)AED=45°(3)P(0,-1)(0,3).

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