Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F分別是BC上兩點(diǎn)，滿足∠EAF=45°，若AB=

72

，BE=3，求EF和CF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ACG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AG=AE，CG=BE，∠1=∠B，∠EAG=90°，∠FCG=∠ACB+∠1=∠ACB+∠B=90°，根據(jù)勾股定理有FG²=FC²+CG²=BE²+FC²；再根據(jù)∠EAF=45°，易證得△AGF≌△AEF，則有FG=EF，即可得到BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而在求出BC的長(zhǎng)，即可得出利用勾股定理求出EF，CF的長(zhǎng)．

解答：解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ACG，
連FG，如圖，
∴AG=AE，CG=BE，∠1=∠B，∠EAG=90°，
∴∠FCG=∠ACB+∠1=∠ACB+∠B=90°，
∴FG²=FC²+CG²=BE²+FC²；
又∵∠EAF=45°，而∠EAG=90°，
∴∠GAF=90°-45°=45°，
在△AGF和△AEF中

AE=AG ∠EAF=∠FAG AF=AF

∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴FG=EF，
∴EF²=BE²+FC²，
∵AB=

72

，BE=3，AB=AC，
∴BC=

72+72

=12，
∴EC=9，設(shè)FC=x，則EF=9-x，
∴（9-x）²=3²+x²，
解得：x=4，則EF=5，
即EF的長(zhǎng)為5，CF的長(zhǎng)為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理以及三角形全等的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出△AGF≌△AEF是解題關(guān)鍵．