Question

關于x的方程﹣x²+2（k﹣1）x﹣k²+1=0有兩個不相等的實數根．

（1）求k的取值范圍；

（2）當k為何值時，方程的兩個實數根的平方和等于16？

Answer 1

【考點】根的判別式；根與系數的關系．

【分析】（1）由于關于x的方程﹣x²+2（k﹣1）x﹣k²+1=0有兩個不相等的實數根，根據方程的判別式大于0，由此即可確定k的取值范圍；

（2）首先根據一元二次方程根與系數的關系得到兩根之和與兩根之積，然后把兩個實數根的平方和變換兩根之和與兩根之積相關的形式，由此即可得到關于k的方程，解方程就可以求出k的值．

【解答】解：（1）由題意得，△=（2（k﹣1））²﹣4（k²﹣1）=﹣8k+8＞0，

解得，k＜1，

故k的取值范圍：k＜1；

 

（2）設方程的兩根為x₁，x₂，

由x₁²+x₂²=（ x₁+x₂）²﹣2 x₁x₂=（2（k﹣1））²﹣2（k²﹣1）=2k²﹣8k+6=16，

解得，k=﹣1或5（舍去），

當k=﹣1時，方程的兩個實數根的平方和等于16．

【點評】此題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系和一元二次方程根與系數的關系，綜合性比較強．第一小題通過利用一元二次方程根的情況與判別式△的關系得到關于k的不等式解決問題；第二小題通過利用一元二次方程根與系數的關系得到關于k的方程解決問題．