Question

關(guān)于x的方程﹣x²+2（k﹣1）x﹣k²+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（1）求k的取值范圍；

（2）當(dāng)k為何值時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于16？

Answer 1

【考點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．

【分析】（1）由于關(guān)于x的方程﹣x²+2（k﹣1）x﹣k²+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)方程的判別式大于0，由此即可確定k的取值范圍；

（2）首先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和與兩根之積，然后把兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和變換兩根之和與兩根之積相關(guān)的形式，由此即可得到關(guān)于k的方程，解方程就可以求出k的值．

【解答】解：（1）由題意得，△=（2（k﹣1））²﹣4（k²﹣1）=﹣8k+8＞0，

解得，k＜1，

故k的取值范圍：k＜1；

 

（2）設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，

由x₁²+x₂²=（ x₁+x₂）²﹣2 x₁x₂=（2（k﹣1））²﹣2（k²﹣1）=2k²﹣8k+6=16，

解得，k=﹣1或5（舍去），

當(dāng)k=﹣1時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于16．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性比較強(qiáng)．第一小題通過利用一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系得到關(guān)于k的不等式解決問題；第二小題通過利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于k的方程解決問題．