Question

如果有兩點(diǎn)到一條直線的距離相等，那么稱這條直線為 “兩點(diǎn)的等距線”．

圖1

（1）如圖1，直線CD經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)P,試說明直線CD是點(diǎn)A、B的一條等距線．

（2）如圖2，A、B、C是正方形網(wǎng)格中的三個(gè)格點(diǎn),請?jiān)诰W(wǎng)格中作出所有的直線m，使直線m過點(diǎn)C且直線m是“A、B的等距線”．

（3）如圖3，拋物線過點(diǎn)（，），（3，），頂點(diǎn)為C．拋物線上是否存在點(diǎn)P ,使，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）見解析；（2）圖形詳見解析；（3）存在點(diǎn)P（，-） 或（-2，- )使S_△APC=S_△BPC．

【解析】（1）分別作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足為E,F

∴∠AEP=∠BFP=90°∵P是AB中點(diǎn)， ∴AP=BP又∵∠APE=∠BPF∴△AEP≌△AFP

∴AE=BF,即直線CD是點(diǎn)A、B的一條等距線．

（2）如圖，直線m₁、m₂就是所有的直線

（3）由題意知，得，∴拋物線為y=-x²+x-

∵S_△APC=S_△BPC．，∴A、B兩點(diǎn)到直線PC的距離相等

①當(dāng)PC∥AB時(shí)，計(jì)算得直線AB解析式為y=x-，直線CP解析式為y=x-

解,得x₁=，x₂=；∴點(diǎn)P（，-）；

②當(dāng)直線CP過AB中點(diǎn)時(shí)，易求AB中點(diǎn)E（2，-），直線CE解析式為y=x-10,

解,得x₁=2，x₂=；；∴點(diǎn)P(-2,-)

綜上所述存在點(diǎn)P（，-） 或（-2，- )  使S_△APC=S_△BPC．