Question

     反比例函數(shù)y＝ (k為常數(shù),k≠0)的圖象是雙曲線.當(dāng)k＞0時(shí)，雙曲線兩個(gè)分支分別在

一、三象限,在每一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而減�。ê喎Q增減性）；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于

   原點(diǎn)對稱（簡稱對稱性）．   

   這些我們熟悉的性質(zhì)，可以通過說理得到嗎？

  【嘗試說理】

我們首先對反比例函數(shù)y＝（k＞0）的增減性來進(jìn)行說理．

如圖，當(dāng)x＞0時(shí)．

在函數(shù)圖象上任意取兩點(diǎn)A、B，設(shè)A(x₁，)，B(x₂，)，

且0＜x₁＜ x₂．

下面只需要比較和的大�。�

—＝ ．

∵0＜x₁＜ x₂，∴x₁－x₂＜0，x₁ x₂＞0，且 k＞0．

∴＜0．即．

這說明：x₁＜ x₂時(shí)，．也就是：自變量值增大了，對應(yīng)的函數(shù)值反而變小了．

即：當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減�。�

同理，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小．

（1）試說明：反比例函數(shù)y＝  （k＞0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．

   【運(yùn)用推廣】

（2）分別寫出二次函數(shù)y＝ax² (a＞0，a為常數(shù))的對稱性和增減性，并進(jìn)行說理．

對稱性：                                            ；

增減性：                                             ．

說理：

（3）對于二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c (a＞0，a，b，c為常數(shù))，請你從增減性的角度，簡要解釋為何當(dāng)x＝— 時(shí)函數(shù)取得最小值．

Answer 1

  （1）在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上任取一點(diǎn)P(m，n)，于是：mn＝k．

      那么點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P₁(－m，－n)．而(－m)(－n)＝mn＝k，

      這說明點(diǎn)P₁也必在這個(gè)反比例函數(shù)y＝的圖象上．

     所以反比例函數(shù)y＝  （k＞0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．

（2）對稱性：二次函數(shù)y＝ax² (a＞0，a為常數(shù))的圖象關(guān)于y軸成軸對稱．

     增減性：當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而減�。�

     理由如下：

     ①在二次函數(shù)y＝ax² (a＞0，a為常數(shù)) 的圖象上任取一點(diǎn)Q(m，n)，于是n＝am²．

     那么點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)Q₁(－m，n)．而n＝a(－m)²，即n＝am²．

     這說明點(diǎn)Q₁也必在在二次函數(shù)y＝ax² (a＞0，a為常數(shù)) 的圖象上．

     ∴二次函數(shù)y＝ax² (a＞0，a為常數(shù))的圖象關(guān)于y軸成軸對稱，

     ②在二次函數(shù)y＝ax² (a＞0,a為常數(shù))的圖象上任取兩點(diǎn)A、B,設(shè)A(m，am²),

       B(n，an²) ，且0＜m＜n．

     則an²－am²＝a(n＋m)(n－m)

     ∵n＞m＞0，

     ∴n＋m＞0，n－m＞0；

     ∵a＞0，

     ∴an²－am²＝a(n＋m)(n－m)＞0．即an²＞am²．

    而當(dāng)m＜n＜0時(shí)，

    n＋m＜0，n－m＞0；

    ∵a＞0，

    ∴an²－am²＝a(n＋m)(n－m)＜0．即an²＜am²．

    這說明，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而減�。�

    

（3）二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c (a＞0，a，b，c為常數(shù)) 的圖象可以由y＝ax²的圖象通過平

     移得到，關(guān)于直線x＝—對稱，當(dāng)x＝—時(shí)，y＝．

     由（2），當(dāng)x≥—時(shí)，y隨x增大而增大；也就是說，只要自變量x≥—，其對應(yīng)

     的函數(shù)值y≥；而當(dāng)x≤—時(shí)，y隨x增大而減小，也就是說，只要自變量x

     ≤—，其對應(yīng)的函數(shù)值y≥．

綜上，對于二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c (a＞0，a，b，c為常數(shù))，當(dāng)x＝— 時(shí)取得最小值．