Question

15．如圖所示，E為正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，△CEF為等腰直角三角形，連BF．若BD=4$\sqrt{2}$，則△BCF的面積為9．

Answer 1

分析 如圖，由此CF交AD于M，連接EM，作MN⊥BC于N，F(xiàn)H⊥BC于H．先證明△EMC是等腰直角三角形，求出FH即可解決問題．

解答 解：如圖，由此CF交AD于M，連接EM，作MN⊥BC于N，F(xiàn)H⊥BC于H．

∵四邊形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，
∴∠MDE=∠ECM=45°，
∴D、C、E、M四點(diǎn)共圓，
∴∠EMC=∠EDC=45°，
∴∠EMC=∠ECM=45°，
∴EM=EC，∵EF⊥CM，
∴FM=FC，
∵S四邊形ABNM是矩形，
∴MN=AB，
∵FH∥MN，F(xiàn)M=FC，
∴NH=HC，
∴FH=$\frac{1}{2}$MN，
∵BD=6$\sqrt{2}$，
∴MN=AB=BC=6，
∴FH=3，
∴S_△BCF=$\frac{1}{2}$BC•FH=9．
故答案為9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，發(fā)現(xiàn)FH=$\frac{1}{2}$MN是難點(diǎn)，屬于中考填空題中的壓軸題．