Question

7．已知：如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，G，H分別是BE，DF的中點(diǎn)，連接EH和FG．
（1）求證：四邊形EGFH是菱形；
（2）當(dāng)AB邊和BC邊之間滿足條件：BC=2AB時(shí)，四邊形EGFH是正方形．

Answer 1

分析 （1）先連接EF，根據(jù)四邊形ABFE、四邊形CDEF都是矩形，得出GE=GF，EH=FH，再根據(jù)四邊形DEBF是平行四邊形，得出BE=DF，最后得到EG=GF=FH=EH，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）連接EF，
∵矩形ABCD中，AD=BC，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，
∴AE=BF，
又∵AE∥BF，∠A=90°，
∴四邊形ABFE是矩形，
∴∠BFE=90°，
∵G是BE的中點(diǎn)，
∴Rt△BEF中，GF=$\frac{1}{2}$BE=GE，①
同理可得，EH=$\frac{1}{2}$DF=FH，②
∵DE∥BF，DE=BF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴BE=DF，③
由①②③可得，EG=GF=FH=EH，
∴四邊形EGFH是菱形；

（2）當(dāng)AB邊和BC邊之間滿足條件：BC=2AB時(shí)，四邊形EGFH是正方形．
理由：當(dāng)AB邊和BC邊之間滿足BC=2AB時(shí)，四邊形ABFE與四邊形CDEF都是正方形，
故∠GEF=∠HEF=45°，
∴∠GEH=90°，
∴菱形EGFH是正方形．

點(diǎn)評 本題主要考查了菱形的判定，矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定的綜合運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造矩形．解題時(shí)注意：先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)矩形有一個(gè)角為直角，可得四邊形為正方形．