Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2－2ax＋3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,0)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E．

（1）填空：a＝ ，點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ；

（2）連結(jié)BD，點(diǎn)M是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與端點(diǎn)B，D重合），過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BD，交拋物線于點(diǎn)N（點(diǎn)N在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)），過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點(diǎn)F，點(diǎn)P是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△MNF的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，求FP＋PC的最小值；

（3）在（2）中，當(dāng)△MNF的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，FP＋PC取得最小值時(shí)，如圖2，把點(diǎn)P向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)Q，連結(jié)AQ，把△AOQ繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在一點(diǎn)G，使得GQ′＝OG？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q′的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），(3,0)；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式中可求出a，令y＝0可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）通過(guò)配方法求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)，，利用等角的三角函數(shù)值相等求出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出使△MNF的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)的m值，在x軸上取點(diǎn)，過(guò)F作CK的垂線段FG交y軸于點(diǎn)P，可得(FP＋PC )min＝FG，連接FC，FK，FK交y軸與點(diǎn)J，利用的面積計(jì)算求出FG；

（3）由（2）求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，取AQ的中點(diǎn)G，△AOQ在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，只需使AQ的中點(diǎn)G在坐標(biāo)軸上即可滿(mǎn)足GQ′＝OG，分四種情況進(jìn)行求解．

解：（1）將點(diǎn)A(－1,0) 代入y＝ax2－2ax＋3中得，，

解得，，即y＝－x2＋2x＋3，

當(dāng)y＝0時(shí)，－x2＋2x＋3＝0，

解得，，，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0)，

故答案為：－1，(3,0)；

（2）∵，

∴點(diǎn)D(1,4)，點(diǎn)C(0,3)，

設(shè)直線BD的表達(dá)式為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3,0)，點(diǎn)D(1,4)，

∴，

解得，，

∴，

設(shè)點(diǎn)，，

由圖形可知，，

∵，，

∴，

∴，

，

，

，

∴當(dāng)m＝2時(shí)，C△MNF最大，此時(shí)F(2,2)，HF＝2，

在x軸上取點(diǎn)，則∠OCK＝30°，過(guò)F作CK的垂線段FG交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)，

∴(FP＋PC )min＝(FP＋PG)min＝FG，

連接FC，FK，FK交y軸與點(diǎn)J，

由點(diǎn)，點(diǎn)F(2,2)可求直線FK的表達(dá)式為，

∴點(diǎn)，，，

∴，即，

解得，，

∴當(dāng)△MNF的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，FP＋PC的最小值為；

（3）存在，

由（2）可知，，即點(diǎn)，

∵將點(diǎn)P向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)Q，

∴點(diǎn)Q(0,2)，

在Rt△AOQ中，，，則，

取AQ的中點(diǎn)G，則有，

∴△AOQ在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，只需使AQ的中點(diǎn)G在坐標(biāo)軸上即可滿(mǎn)足GQ′＝OG，

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)G在y軸正半軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q′作Q′I⊥x軸，垂足為I，

∵∠GOQ'＝∠GQ'O，

∵，

∴∠GOQ'＝∠IQ'O，

∴∠IQ'O＝∠GQ'O，

∴設(shè)，

∴，

∴，即點(diǎn)，

同理可知，當(dāng)點(diǎn)G在x軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)G在y軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)G在x軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)，

綜上，點(diǎn)Q′的坐標(biāo)為，，，．