Question

【題目】如圖，y=﹣x2+mx+3（m＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x指的正半軸交于點(diǎn)k，過點(diǎn)C作CB∥x軸交拋物線于另一點(diǎn)B，點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，連結(jié)BD交y軸于點(diǎn)A，若AB=2AD．

（1）用含m的代數(shù)式表示BC的長；

（2）當(dāng)m=2時，判斷點(diǎn)D是否落在拋物線上，并說明理由；

（3）過點(diǎn)B作BE∥y軸交x軸于點(diǎn)F，延長BF那至E，使得EF=BC，連結(jié)DE交y軸于點(diǎn)G，連結(jié)AE交x軸于點(diǎn)M，若△DOG的面積與△MFE的面積之比為1：2，則求出拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）BC=m；（2）當(dāng)m=2時，點(diǎn)D落在拋物線上；（3）y=﹣x2+x+3．

【解析】

（1）因?yàn)閽佄锞�的對稱軸為x＝，由對稱性即可得出BC的長；

（2）當(dāng)m＝2時，BC＝2，由題意，可得△AOD∽△ACB，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求得點(diǎn)D（﹣1，0），即可判斷點(diǎn)D是否落在拋物線上；

（3）由△AOD∽△ACB，求得A（0，1），D（﹣，0），因?yàn)辄c(diǎn)E（m，﹣），用待定系數(shù)法分別求得直線AE，DE的表達(dá)式，即可得出點(diǎn)M，點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)△DOG的面積與△MFE的面積之比為1：2，列出方程，解方程即可求得m的值．

（1）∵y=﹣x2+mx+3（m＞0）．

∵拋物線的對稱軸為x=，

∴BC=m．

（2）當(dāng)m=2時，BC=2，y=﹣x2+2x+3

∵CB∥x軸，

∴△AOD∽△ACB，

∴DO：BC=AD：AB=1：2，

∴DO=1，即點(diǎn)D（﹣1，0），

當(dāng)x=﹣1時，y=﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+3=0，

∴當(dāng)m=2時，點(diǎn)D落在拋物線上；

（3）∵過點(diǎn)B作BE∥y軸交x軸于點(diǎn)F，延長BF至E，使得EF=BC，

∴點(diǎn)E（m，﹣）．

∵C（0，3），OD：BC=OA：AC=AD：AB=1：2，

∴OA=1，OD=，

∴A（0，1），D（﹣，0），

設(shè)直線AE表達(dá)式為y=kx+b，把E（m，﹣），A（0，1）代入得

∴，

解得：，

∴直線AE表達(dá)式為y=﹣x+1，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（，0），

設(shè)直線DE表達(dá)式為y=ax+t，

將D（﹣，0），E（m，﹣）代入得，

解得：，

∴直線DE表達(dá)式為y=﹣x﹣，

∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，﹣）．

∵△DOG的面積與△MFE的面積之比為1：2，

∴2×××=××（m﹣）．

∵m＞0，∴m=1．

故該拋物線解析式是：y=﹣x2+x+3．