Question

已知拋物線y=x²-1和x軸交于A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B右邊）兩點(diǎn)，和y軸交于點(diǎn)C，P為拋物線上的動點(diǎn)．
（1）求出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求動點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的最小值，并求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上運(yùn)動時，過P的直線交x軸于E，若△POE和△POC全等，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令y=0，解方程求出x的值，即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，令x=0求出y的值，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-1），利用勾股定理列式求出OP²，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的增減性，點(diǎn)P在第三四象限時，OP≠1，從而判斷出OC與OE是對應(yīng)邊，然后確定出點(diǎn)E與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠POC=∠POE，然后根據(jù)第三、四象限角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的坐標(biāo)特征利用拋物線解析式求解即可．

解答：解：（1）令y=0，則x²-1=0，
解得x=±1，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B右邊，
∴A（-1，0），B（1，0），
令x=0，則y=-1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）；

（2）∵P為拋物線y=x²-1上的動點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-1），
則OP²=x²+（x²-1）²=x⁴-x²+1=（x²-

1

2

）²+

3

4

，
∴當(dāng)x²=

1

2

，即x=±

2

2

時，OP²最小，OP的值也最小，
此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

2

2

，-

1

2

）或（-

2

2

，-

1

2

）；

（3）∵OP²=（x²-

1

2

）²+

3

4

，
∴點(diǎn)P在第三四象限時，OP≠1，
∵△POE和△POC全等，
∴OC與OE是對應(yīng)邊，
∵OA=OB=1，
∴點(diǎn)E與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合，
∴∠POC=∠POE，
∴點(diǎn)P在第三、四象限角平分線上，
①點(diǎn)P在第三象限角平分線上時，y=x，
∴x²-1=x，
解得x₁=

1- 5

2

，x₂=

1+ 5

2

（舍去），
此時，點(diǎn)P（

1- 5

2

，

1- 5

2

）
②點(diǎn)P在第四象限角平分線上時，y=-x，
∴x²-1=-x，
解得x₁=

-1+ 5

2

，x₂=

-1- 5

2

（舍去），
此時，點(diǎn)P（

-1+ 5

2

，

1- 5

2

），
綜上所述，P（

1- 5

2

，

1- 5

2

）或（

-1+ 5

2

，

1- 5

2

）時△POE和△POC全等．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，二次函數(shù)的最值問題，全等三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于判斷出（3）點(diǎn)P在第三、四象限角平分線上．