Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，,E是邊CD的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)與AD的延長(zhǎng)線相較于點(diǎn)F.若△BCD是等腰三角形，則四邊形BDFC的面積為_______________。

Answer 1

【答案】5或20．

【解析】

先證明四邊形BDFC是平行四邊形；當(dāng)△BCD是等腰三角形求面積時(shí)，需分①BC=BD時(shí)，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四邊形的面積公式列式計(jì)算即可得解；②BC=CD時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AF于G，判斷出四邊形AGCB是矩形，再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AG=BC=5，然后求出DG=3，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四邊形的面積列式計(jì)算即可得解；③BD=CD時(shí)，BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直，從而得到BC=2AD=4，矛盾．

證明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
在△BEC與△FED中，

∴△BEC≌△FED，
∴BE=FE，
又∵E是邊CD的中點(diǎn)，
∴CE=DE，
∴四邊形BDFC是平行四邊形；

（1）BC=BD=5時(shí)，由勾股定理得，AB===，
所以，四邊形BDFC的面積=5×=5 ；
（2）BC=CD=5時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AF于G，則四邊形AGCB是矩形，
所以，AG=BC=5，
所以，DG=AG-AD=5-2=3，由勾股定理得，CG===4，
所以，四邊形BDFC的面積=4×5=20；
（3）BD=CD時(shí)，BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直，從而得到BC=2AD=4，矛盾，此時(shí)不成立；
綜上所述，四邊形BDFC的面積是5或20．

故答案為：5或20．