【題目】在菱形ABCD中,∠BAD=60°.
(1)如圖1,點E為線段AB的中點,連接DE,CE,若AB=4,求線段EC的長;
(2)如圖2,M為線段AC上一點(M不與A,C重合),以AM為邊,構(gòu)造如圖所示等邊三角形AMN,線段MN與AD交于點G,連接NC,DM,Q為線段NC的中點,連接DQ,MQ,求證:DM=2DQ.
【答案】(1)2 (2)證明見解析
【解析】試題分析:(1)如圖1,連接對角線BD,先證明△ABD是等邊三角形,根據(jù)E是AB的中點,由等腰三角形三線合一得:DE⊥AB,利用勾股定理依次求DE和EC的長;
(2)如圖2,作輔助線,構(gòu)建全等三角形,先證明△ADH是等邊三角形,再由△AMN是等邊三角形,得條件證明△ANH≌△AMD(SAS),則HN=DM,根據(jù)DQ是△CHN的中位線,得HN=2DQ,由等量代換可得結(jié)論.
試題解析:解:(1)如圖1,連接BD,則BD平分∠ABC,∵四邊形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∴∠A+∠ABC=180°,∵∠A=60°,∴∠ABC=120°,∴∠ABD=∠ABC=60°,∴△ABD是等邊三角形,∴BD=AD=4,∵E是AB的中點,∴DE⊥AB,由勾股定理得:DE==,∵DC∥AB,∴∠EDC=∠DEA=90°,在Rt△DEC中,DC=4,EC===;
(2)如圖2,延長CD至H,使CD=DH,連接NH、AH,∵AD=CD,∴AD=DH,∵CD∥AB,∴∠HDA=∠BAD=60°,∴△ADH是等邊三角形,∴AH=AD,∠HAD=60°,∵△AMN是等邊三角形,∴AM=AN,∠NAM=60°,∴∠HAN+∠NAG=∠NAG+∠DAM,∴∠HAN=∠DAM,在△ANH和△AMD中,∵AH=AD,∠HAN=∠DAM,AN=AM,∴△ANH≌△AMD(SAS),∴HN=DM,∵D是CH的中點,Q是NC的中點,∴DQ是△CHN的中位線,∴HN=2DQ,∴DM=2DQ.
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【題目】如圖,已知∠1=∠3,CD∥EF,試說明∠1=∠4.請將過程填寫完整.
解:∵∠1=∠3,
又∠2=∠3(_______),
∴∠1=____,
∴______∥______(_______),
又∵CD∥EF,
∴AB∥_____,
∴∠1=∠4(兩直線平行,同位角相等).
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,,E是邊CD的中點,連接BE并延長與AD的延長線相較于點F.若△BCD是等腰三角形,則四邊形BDFC的面積為_______________。
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【題目】為了抗擊新冠病毒,保護學(xué)生和教師的生命安全,新希望中學(xué)元購進甲、乙兩種醫(yī)用口罩共計盒,甲,乙兩種口罩的售價分別是元/盒,元/盒;甲,乙兩 種口罩的數(shù)量分別是個/盒,個/盒.
(1)求新希望中學(xué)甲、乙兩種口罩各購進了多少盒?
(2)按照教育局要求,學(xué)校必須儲備兩周的用量,新希望中學(xué)師生共計人,每人每天個口罩,問購買的口罩?jǐn)?shù)量是否能滿足教育局的要求?
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【題目】如圖所示,已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-2,3)、B(-6,0)、C(-1,0),
(1)請直接寫出點A關(guān)于原點O對稱的點的坐標(biāo);
(2)將△ABC繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,求出A′點的坐標(biāo)。
(3)請直接寫出:以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標(biāo).
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【題目】如圖,已知在Rt△ABC中,∠B=30°,∠ACB=90°,延長CA到O,使AO=AC,以O(shè)為圓心,OA長為半徑作⊙O交BA延長線于點D,連接CD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若AB=4,求圖中陰影部分的面積.
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【題目】如圖,直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別是y1=x和y2=﹣2x+6,直線BC與x軸交于點B,直線BA與直線OC相交于點A.
(1)當(dāng)x取何值時y1>y2?
(2)當(dāng)直線BA平分△BOC的面積時,求點A的坐標(biāo).
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【題目】甲乙兩地相距72千米,李磊騎自行車往返兩地一共用了7小時,已知他去時的平均速度比返回時的平均速度快,求李磊去時的平均速度是多少?
小蕓同學(xué)解法如下:
解:設(shè)李磊去時的平均速度是x千米/時,則返回時的平均速度是(1-)x千米/時,由題意得:+=7,…
你認(rèn)為小蕓同學(xué)的解法正確嗎?若正確,請寫出該方程所依據(jù)的等量關(guān)系,并完成剩下的步驟;若不正確,請說明原因,并完整地求解問題.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O,過點O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,過點O作OD⊥AC于D,下列四個結(jié)論:
①EF=BE+CF;
②∠BOC=90°+∠A;
③點O到△ABC各邊的距離相等;
④設(shè)OD=m,AE+AF=n,則.
其中正確的結(jié)論是____.(填序號)
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