Question

3．如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，CG⊥EF于G，DF、CG交于H，GH=1，∠ADF=∠FCG，求AF的長．

Answer 1

分析 先證明△EHD≌△CHF，得EH=CH，則H是EC的中點(diǎn)；再證明△EGC是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得EC的長，通過證明四邊形AFCE是平行四邊形，得AF=EC=2．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADF=∠DFC，
∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，
∴ED=$\frac{1}{2}$AD，F(xiàn)C=$\frac{1}{2}$BC，
∴ED=FC，
∵∠EHD=∠CHF，
∴△EHD≌△CHF，
∴EH=CH，
∵CG⊥EF，
∴△EGC是直角三角形，
∴GH=$\frac{1}{2}$EC，
∵GH=1，
∴EC=2，
同理得AE=FC，AE∥FC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴AF=EC=2．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，明確平行四邊形對邊相等且平行，根據(jù)對邊平行可以得出角的關(guān)系；與三角形全等相結(jié)合證明邊相等；同時(shí)也運(yùn)用了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)．