Question

若m₁、m₂、n₁、n₂是實(shí)數(shù)，且m₁m₂=2（n₁+n₂）．求證：方程x²+m₁x+n₁=0和方程x²+m₂x+n₂=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式

專題：證明題

分析：首先分別求出兩個(gè)方程的判別式，然后把它們相加，接著利用m₁m₂=2（n₁+n₂）證明它們的和是非負(fù)數(shù)，根據(jù)判別式與方程的根的關(guān)系即可解決問題．

解答：解：∵方程x²+m₁x+n₁=0的判別式為△₁=m₁²-4n₁，
方程x²+m₂x+n₂=0的判別式為△₂=m₂²-4n₂，
∴△₁+△₂=m₁²-4n₁+m₂²-4n₂=m₁²+m₂²-4（n₁+n₂），
∵m₁m₂=2（n₁+n₂），
∴△₁+△₂=m₁²+m₂²-2m₁m₂=（m₁-m₂）²≥0，
∴△₁和△₂中至少有一個(gè)正數(shù)或都是0，
∴方程x²+m₁x+n₁=0和方程x²+m₂x+n₂=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評：此題考查了一元二次方程的根和判別式之間的關(guān)系，若△＞0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若△=0，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若△＜0，則方程沒有實(shí)數(shù)根．