Question

直角坐標(biāo)系中，直線OC和BC的函數(shù)關(guān)系式分別是y=x，y=-2x+6，過B點(diǎn)作x軸的垂線交直線OC于A點(diǎn)，D是線段OC上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)D，O不重合），以BD為直角邊作等腰Rt△BDE（E在第四象限），F(xiàn)是AE中點(diǎn)．確定線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：首先證明O、D、B、E四點(diǎn)共圓，則OE⊥AO，作BK⊥AO交AO于K，交AE于L，則KL即為Rt△AOE的中位線，L和F重合．然后證明△ADB≌△OEB，則AD=OE，BF=BK-FK=

1

2

AO-

1

2

OE=

1

2

AO-

1

2

AD，求得OB的長，即可求解．

解答：解：數(shù)量關(guān)系：2BF+AD=3

2

，
位置關(guān)系：BF⊥AD．
理由是：∵∠DBO+∠EBO=90°，∠DBO+∠ABD=90°．
∴∠EBO=∠ABD．
∵∠BDO=45°+∠ODE=∠OAB+∠ABD=45°+∠ABD，
∴∠ODE=∠ABD=∠EBO，
∴O、D、B、E四點(diǎn)共圓．
∴∠AOE=90°，即OE⊥AO．
作BK⊥AO交AO于K，交AE于L，則KL即為Rt△AOE的中位線，
∴L為AE的中點(diǎn)，
又∵F是AE的中點(diǎn)，
∴L和F重合，
∴BF⊥AD．
在△ADB和△OEB中，

AB=OB BD=BE ∠ABD=∠OBE

，
∴△ADB≌△OEB．
∴AD=OE，BF=BK-FK=

1

2

AO-

1

2

OE=

1

2

AO-

1

2

AD，
∴BF+

1

2

AD=

1

2

AO．
∵B是直線y=-2x+6與x軸的交點(diǎn)，
∴OB=3，則AO=3

2

，
∴BF+

1

2

AD=

1

2

×3

2

=

3 2

2

．
即2BF+AD=3

2

．

點(diǎn)評：本題時一次函數(shù)以及三角形的全等的判定的綜合應(yīng)用，作出輔助線，正確證明△ADB≌△OEB是關(guān)鍵．