Question

【題目】（1）如圖，A、B是河l兩側(cè)的兩個(gè)村莊．現(xiàn)要在河l上修建一個(gè)抽水站C，使它到A、B兩村莊的距離的和最小，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)C的位置，并保留作圖痕跡．

（探索）

（2）如圖，C、B兩個(gè)村莊在一條筆直的馬路的兩端，村莊A在馬路外，要在馬路上建一個(gè)垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)O的位置．

（3）如圖，現(xiàn)有A、B、C、D四個(gè)村莊，如果要建一個(gè)垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)O的位置．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，連接AB，交l于點(diǎn)C即可；

（2）根據(jù)BO＋CO=BC為定長(zhǎng)，故需保證AO最小即可，根據(jù)垂線(xiàn)段最短，過(guò)點(diǎn)A作AO⊥BC于O即可；

（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，故連接AC、BD交于點(diǎn)O即可．

解：（1）連接AB，交l于點(diǎn)C，此時(shí)AC＋BC=AB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，AB即為AC＋BC的最小值，如下圖所示：點(diǎn)C即為所求；

（2）∵點(diǎn)O在BC上

∴BO＋CO=BC

∴AO+BO+CO=AO＋BC，而BC為定長(zhǎng)，

∴當(dāng)AO+BO+CO最小時(shí)，AO也最小

過(guò)點(diǎn)A作AO⊥BC于O，根據(jù)垂線(xiàn)段最短，此時(shí)AO最小，AO+BO+CO也最小，如下圖所示：點(diǎn)O即為所求；

（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，若使AO＋CO最小，連接AC，點(diǎn)O應(yīng)在線(xiàn)段AC上；若使BO＋DO最小，連接BD，點(diǎn)O應(yīng)在線(xiàn)段BD上，

∴點(diǎn)O應(yīng)為AC和BD的交點(diǎn)

如下圖所示：點(diǎn)O即為所求．