Question

CD是經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA=CB．E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）如圖1，直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，若∠BCA=90°，∠α=90°，則BE

 

CF；EF

 

|BE-AF|（填“＞”，“＜”，“=”）；
（2）如圖2，直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，若∠BCA=60°，則當∠α=

 

時，（1）中的兩個結(jié)論仍然成立，請證明兩個結(jié)論成立．
（3）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，∠α=∠BCA，請?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和直角求出∠CBE=∠ACF，利用AAS即可證明三角形BCE與三角形CAF全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BE=CF，CE=AF，而EF=CF-CE，等量代換得證；
（2）在三角形BCE中，由∠BEC=120°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CBE=∠ACF，利用AAS即可證明三角形BCE與三角形CAF全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BE=CF，CE=AF，而EF=CF-CE，等量代換得證；
（3）在三角形BCE中，由∠BEC=∠α，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CBE=∠ACF，利用AAS即可證明三角形BCE與三角形CAF全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BE=CF，CE=AF，即可得出EF=CF+CE，

解答：解：（1）∵∠BCA=∠BEC=∠CFA=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠BCE=∠CAF，
在△BCE和△CAF中，

∠CEB=∠CFA ∠BCE=∠CAF BC=AC

，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=|CF-CE|=|BE-AF|，
故答案額：=，=；

（2）當∠α=120°時，（1）中的兩個結(jié)論仍然成立，
理由是：∵∠BEC=∠CFA=∠α=120°，
∴∠CBE+∠BCE=180°-120°=60°，∠BCE+∠ACF=∠BCA=60°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，

∠CEB=∠CFA ∠BCE=∠CAF BC=AC

，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=|CF-CE|=|BE-AF|，
故答案為：120°；

（3）EF=AF+BE，
理由是：∵∠BEC=∠CFA=∠α，
∴∠CBE+∠BCE=∠BCE+∠ACF=∠BCA，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，

∠CEB=∠CFA ∠BCE=∠CAF BC=AC

，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=AF+BE．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，此題是一道比較復(fù)雜的題目，綜合性比較強，本題考查了從特殊到一般的過程，考查了學(xué)生的分析能力和推理能力，證明過程類似．