Question

已知△ABC，AB=BC，D為邊BC上任意一點(diǎn)，射線CE在∠ACF的內(nèi)部，DG交CE于點(diǎn)G．

（1）如圖1，若AB=AC，∠ECF=∠ADG=60°，試探究線段AD與線段DG的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并加以證明；
（2）如圖2，若∠B=∠ADG，請(qǐng)你給∠ECF補(bǔ)充一個(gè)條件，使得你在（1）中得到的結(jié)論仍然成立，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先判斷出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=∠ABF=60°，再求出∠ACE=60°，從而得到∠ADG=∠ACE，然后證明點(diǎn)A、D、C、G四點(diǎn)共圓，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠DGA=∠ACD=60°，再求出∠DAG=60°，然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得AD=DG；
（2）根據(jù)（1）的思路，∠ECF=∠BAC，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠ACE=∠B，然后求出點(diǎn)A、D、C、G四點(diǎn)共圓，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等求出∠AGD=∠ACB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和表示出∠ACB=∠DAG，從而得到∠DAG=∠AGD，再根據(jù)等角對(duì)等邊證明即可．

解答：證明：（1）∵AB=BC，AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACD=∠ABF=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠ACE=180°-60°×2=60°，
∴∠ADG=∠ACE，
∴點(diǎn)A、D、C、G四點(diǎn)共圓，
∴∠DGA=∠ACD=60°，
又∵∠DAG=180°-∠ADG-∠DGA=180°-60°-60°=60°，
∴∠DAG=∠DGA=60°，
∴AD=DG；

（2）∠ECF=∠BAC．
理由如下：由三角形的外角性質(zhì)，∠ACE+∠ECF=∠BAC+∠B，
∵∠ECF=∠BAC，
∴∠ACE=∠B，
∵∠B=∠ADG，
∴∠ADG=∠ACE，
∴點(diǎn)A、D、C、G四點(diǎn)共圓，
∴∠AGD=∠ACB，
∵∠DAG=180°-∠ADG-∠AGD=180°-∠B-∠ACB=∠BAC，
∴∠ACB=∠DAG，
∴∠DAG=∠AGD=∠ACB，
∴AD=DG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的證明與應(yīng)用，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)求出四點(diǎn)共圓并理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．