Question

如圖1，已知線段AB長為6，點A在x軸負半軸，B在y軸正半軸，繞A點順時針旋轉60°，B點恰好落在x軸上D點處，點C在第一象限內且四邊形ABCD是平行四邊形．
（1）求點C、點D的坐標并用尺規(guī)作圖確定兩點位置（保留作圖痕跡）
（2）如圖2，若半徑為1的⊙P從點A出發(fā)，沿A-B-D-C以每秒4個單位長的速度勻速移動，同時⊙P的半徑以每秒0.5個單位長的速度增加，運動到點C時運動停止，當運動時間為t秒時，
①t為何值時，⊙P與y軸相切？
②在整個運動過程中⊙P與x軸有公共點的時間共有幾秒？簡述過程．
（3）若線段AB繞點O順時針旋轉90°，線段AB掃過的面積是多少？

Answer 1

考點：圓的綜合題,平行四邊形的性質,切線的性質,扇形面積的計算,特殊角的三角函數(shù)值

專題：綜合題,分類討論

分析：（1）由題可知：AD=AB=6，∠DAB=60°，再根據(jù)條件就可求出OB及BC的長，從而得到點C和點D的坐標．以點A為圓心，AB為半徑畫弧，與x軸交點即為點D；以點D為圓心，AB為半徑畫弧，以點B為圓心，AD為半徑畫弧，兩弧的交點即為點C．
（2）①分點P在AB、BD、DC上三種情況討論，然后在直角三角形中運用特殊角的三角函數(shù)值建立方程，就可解決問題；
②只需求出三個臨界位置（點P分別在AB、BD、DC上，且⊙P與x軸相切）對應的t的值，就可解決問題．
（3）過點O作OH⊥AB，垂足為H，過點O作OH′⊥A′B′，垂足為H′，采用割補法將S_陰影轉化為S_弓形AR+S_△OHB+S_扇形OBB′-S_扇形OHH′-S_△OH′B′就可解決問題．

解答：解：（1）由題可知：AD=AB=6，∠DAB=60°．
∵∠AOB=90°，∴AO=3，OB=3

3

．
∴OD=AD-OA=3．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD=6．
∴點C的坐標為（6，3

3

），點D的坐標為（3，0）．
作法：①以點A為圓心，AB為半徑畫弧，與x軸交點即為點D；
②以點D為圓心，AB為半徑畫�。灰渣cB為圓心，AD為半徑畫弧，兩弧的交點即為點C．
如圖1所示．


（2）①Ⅰ．點P在AB上時，過點P作PE⊥y軸，垂足為E，如圖2，

∵⊙P與y軸相切，∴PE=r=1+0.5t．
在Rt△PEB中，
∵∠PBE=90°-60°=30°，PB=6-4t，PE=1+0.5t，
∴6-4t=2（1+0.5t）．
解得：t=

4

5

．
Ⅱ．點P在BD上時，過點P作PE⊥y軸，垂足為E，如圖3，

同理可得：t=

8

3

．
Ⅲ．點P在DC上時，過點P作PF⊥x軸，垂足為F，如圖4，

則有DP=4t-12．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC．
∴∠CDF=∠BAO=60°．
∴∠DPF=30°．
∴DF=2t-6．
∴OF=3+2t-6=2t-3．
若⊙P與y軸相切，則OF=r=1+0.5t．
∴2t-3=1+0.5t．
解得：t=

8

3

．
此時點P不在DC上，故舍去．
∴當t取

4

5

秒或

8

3

秒時，⊙P與y軸相切．
②Ⅰ．點P在AB上，且⊙P與x軸相切于點F時，連接PF，如圖5，

則有PF⊥OA，即∠PFA=90°．
在Rt△AFP中，
∵PF=1+0.5t，AP=4t，∠PAF=60°，
∴sin∠PAF=

PF

AP

=

1+0.5t

4t

=

3

2

．
解得；t=

8 3 +2

47

．
Ⅱ．點P在BD上，且⊙P與x軸相切于點F時，連接PF，如圖6，

同理可得：t=

146-20 3

47

．
Ⅲ．點P在DC上，且⊙P與x軸相切于點F時，連接PF，如圖7，

同理可得：t=

146+20 3

47

．
∴t=

8 3 +2

47

+

146+20 3

47

-

146-20 3

47

=

48 3 +2

47

．
∴在整個運動過程中⊙P與x軸有公共點的時間共有

48 3 +2

47

秒．

（3）若線段AB繞點O順時針旋轉90°，線段AB掃過的圖形如圖8所示，

過點O作OH⊥AB，垂足為H，過點O作OH′⊥A′B′，垂足為H′，如圖所示，
則有OH=OA•sin∠HAO=3×

3

2

=

3 3

2

．
同理可得：OH′=

3 3

2

．
∵S_弓形AR=S_扇形OAR-S_正△OAR=

60π×32

360

-

1

2

×3×

3 3

2

=

3π

2

-

9 3

4

．
S_扇形OBB′=

90π×(3 3 )2

360

=

27π

4

，
S_扇形OHH′=

90π×( 3 3 2 )2

360

=

27π

16

．
S_△OHB=S_△OH′B′
∴S_陰影=S_弓形AR+S_△OHB+S_扇形OBB′-S_扇形OHH′-S_△OH′B′
=S_弓形AR+S_扇形OBB′-S_扇形OHH′
=

3π

2

-

9 3

4

+

27π

4

-

27π

16

=

105π-36 3

16

．
∴線段AB掃過的面積是

105π-36 3

16

．

點評：本題考查了切線的性質、平行四邊形的性質、扇形的面積公式、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，還考查了分類討論及割補法等數(shù)學思想方法，有一定的難度．而正確分類及合理割補是解決本題的關鍵，是一道易錯題．