Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=12，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD⊥AC，交AB于點D，連接PQ．點P，Q分別從A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒（t≥0）．
（1）當(dāng)t為何值時，△CPQ的面積為5？
（2）當(dāng)t為何值時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？
（3）是否存在這樣的t，使△ACD為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：分類討論

分析：（1）由題可得AP=t，CQ=2t，PC=6-t，然后由△CPQ的面積為5建立關(guān)于t的方程，解這個方程就可解決問題．
（2）由于∠A是公共角，可分△PCQ∽△ACB和△QCP∽△ACB兩種情況討論，然后利用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題．
（3）由于等腰△ACD的腰不確定，故需分三種情況（①DA=DC，②AD=AC，③CD=CA）討論，然后利用等腰三角形的性質(zhì)或勾股定理就可解決問題．

解答：解：（1）由題意可得：AP=t，CQ=2t，PC=6-t，
則有S_△CPQ=

1

2

×CQ×PC=

1

2

×2t×（6-t）=5，
整理得：t²-6t+5=0，
解得：t₁=1，t₂=5．
∴當(dāng)t為1（秒）或5（秒）時，△CPQ的面積為5．

（2）①若△PCQ∽△ACB，
則有

CP

CA

=

CQ

CB

，
∴

6-t

6

=

2t

12

，
解得：t=3．
②若△QCP∽△ACB，
則有

CQ

CA

=

CP

CB

，
∴

2t

6

=

6-t

12

，
解得：t=1.2．
∴當(dāng)t為3（秒）或1.2（秒）時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似．

（3）①若DA=DC，
∵DP⊥AC，
∴AP=CP=3，
∴t=3．
②若AD=AC，
則有AD=6．
∵∠APD=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△APD∽△ACB，
∴

AP

AC

=

PD

CB

，
∴

t

6

=

PD

12

，
∴PD=2t．
在Rt△APD中，
∵AP²+PD²=AD²，
∴t²+（2t）²=6²，
解得：t=

6 5

5

．
③若CD=CA，
則CD=6．
在Rt△CPD中，
∵CP²+PD²=CD²，
∴（6-t）²+（2t）²=6²，
解得：t₁=0（舍去），t₂=

12

5

．
∴當(dāng)t的值為3（秒）或

6 5

5

（秒）或

12

5

（秒）時，△ACD為等腰三角形．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式、解一元二次方程、勾股定理等知識，有一定的綜合性，而運用分類討論的思想則是解決本題的關(guān)鍵．