Question

【題目】在菱形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，，，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)（可與，重合），以點(diǎn)為圓心，為半徑作（其中）．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與重合，且時(shí)，過(guò)點(diǎn)，分別作的切線，切點(diǎn)分別為，．求證：；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且在菱形內(nèi)部時(shí)（不含邊界），求的取值范圍；

（3）當(dāng)點(diǎn)為或的內(nèi)心時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）或．

【解析】

（1）連接，，則AM=AN，根據(jù)切線的性質(zhì)可得90°，據(jù)此通過(guò)“HL”證明Rt△BMA與Rt△DNA全等，最后利用全等三角形性質(zhì)證明結(jié)論即可；

（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，在菱形內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，由此進(jìn)一步利用勾股定理計(jì)算出，最后通過(guò)結(jié)合題意進(jìn)一步分析求解即可；

（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)為內(nèi)心時(shí)，過(guò)作于，作于，則有，連接、，根據(jù)求出此時(shí)圓的半徑，從而根據(jù)直接計(jì)算即可，然后當(dāng)點(diǎn)為的內(nèi)心時(shí)，按照相同的方法進(jìn)一步求解即可.

（1）

如圖，連接，，則AM=AN，

∵，分別是的切線，

∴90°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

∴在Rt△BMA與Rt△DNA中，

∵，，

∴，

∴；

（2）

如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，在菱形內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)，

在菱形中，，，

∴，，

∴，

∴，

由，得，

解得：，

∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且在菱形內(nèi)部時(shí)，的取值范圍是：；

（3）AP長(zhǎng)為或．

如圖，當(dāng)點(diǎn)為內(nèi)心時(shí)，過(guò)作于，作于，

則有，連接、，

則有，

由菱形性質(zhì)可得：AB=AD=BC=CD=5，AO=OC=3，BO=OD=4，

∴，

解得：，

則；

當(dāng)點(diǎn)為的內(nèi)心時(shí)，同理可得，

綜上所訴，或．