Question

如圖，AB⊥AC，AB=AC=2，過點B作直線l⊥AB，點P是直線l上點B左側(cè)的一個動點，聯(lián)結(jié)PC交AB于點E，過點C作CD⊥PC交直線l于點D．
（1）若PB=1，求PD的長；
（2）在點P移動過程中，△BDE是否與△ACE相似？PD為何值時，△BDE∽△ACE？

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證△PBE∽△PCD和△PBE∽△CAE即可求得BE的長度，即可解題；
（2）根據(jù)△BDE∽△ACE可以求得

BD

BE

=

BP

BE

，根據(jù)斜邊中線等于斜邊的一半即可解題．

解答：解：（1）∵AB⊥PD，CD⊥CP，
∴△PBE∽△PCD，∴

PB

PC

=

PE

PD

．
∵PD⊥AB，AC⊥AB，
∴PD∥AC，
∴△PBE∽△CAE，
∴

PB

AC

=

BE

AE

=

1

2

，
∴BE=

2

3

，∴PE=

BE2+BP2

=

13

3

，
PC=3PE=

13

，
解得PD=

13

3

；
（2）∵△BDE∽△ACE，
∴

AC

BD

=

AE

BE

，
又∵△PBE∽△CAE，
∴

BP

BE

=

AC

AE

，整理得：

BD

BE

=

BP

BE

．
∴BP=BD，
∴B為PD中點，PD為RT△CDP斜邊，
∴PD=2BD=2BC=2

2

×2=4

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，考查了直角三角形中斜邊中線等于斜邊長一半的性質(zhì)．