Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=，對(duì)角線(xiàn)BD、AC交于點(diǎn)O．將直線(xiàn)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)分別交BC、AD于點(diǎn)E、F．

（1）試說(shuō)明在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AF與CE總保持相等；

（2）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；

（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果能，求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）45°.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行可得AD∥BC，對(duì)角線(xiàn)互相平分可得OA=OC，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠1=∠2，然后利用“角邊角”證明△AOF和△COE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得到AF=CE；

（2）根據(jù)垂直的定義可得∠BAO=90°，然后求出∠BAO=∠AOF，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行可得AB∥EF，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行求出AF∥BE，再根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明；

（3）根據(jù)（1）的結(jié)論可得AF=CE，再求出DF∥BE，DF=BE，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求出四邊形BEDF平行四邊形，再求出對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形可得EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF是菱形；根據(jù)勾股定理列式求出AC=2，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分求出AO=1，然后求出∠AOB=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義求出旋轉(zhuǎn)角即可．

試題解析：（1）在ABCD中，AD∥BC，OA=OC，

∴∠1=∠2，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴AF=CE；

（2）由題意，∠AOF=90°（如圖2），

又∵AB⊥AC，

∴∠BAO=90°，

∠AOF=90°，

∴∠BAO=∠AOF，

∴AB∥EF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

即：AF∥BE，

∵AB∥EF，AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形；

（3）當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF是菱形（如圖3）．

∵ABCD，AF=CE，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴DF∥BE，DF=BE，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

又∵EF⊥BD，

∴BEDF是菱形，

∵AB⊥AC，

∴在△ABC中，∠BAC=90°，

∴BC2=AB2+AC2，

∵AB=1，BC=，

∴AC===2，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=AC=×2=1，

∵在△AOB中，AB=AO=1，∠BAO=90°，

∴∠1=45°，

∵EF⊥BD，

∴∠BOF=90°，

∴∠2=∠BOF-∠1=90°-45°=45°，

即：旋轉(zhuǎn)角為45°．