Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)O（0，0），A（5，0），B（4，4）．

（1）求過O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式．

（2）在第一象限的拋物線上存在點(diǎn)M，使以O(shè)、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形面積最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（3）作直線x=m交拋物線于點(diǎn)P，交線段OB于點(diǎn)Q，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求m的值．

 

 

Answer 1

（1）該拋物線的解析式為y=﹣x（x﹣5）=﹣x2+5x；

（2）M（2，6）；

（3）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，m的值為1，2或．

【解析】

試題分析：（1）由于拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)已知，因此拋物線的解析式可設(shè)成交點(diǎn)式，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，即可求出拋物線的解析式；

（2）以O(shè)、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個(gè)三角形面積最大，則四邊形面積即最大；求出另一個(gè)三角形面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最值；本問需分類討論：

①當(dāng)0＜x≤4時(shí)，點(diǎn)M在拋物線OB段上時(shí)，如答圖1所示；

②當(dāng)4＜x≤5時(shí)，點(diǎn)M在拋物線AB段上時(shí)，圖略．

（3）△PQB為等腰三角形時(shí)，有三種情形，需要分類討論，避免漏【解析】

①若點(diǎn)B為頂點(diǎn)，即BP=BQ，如答圖2﹣1所示；

②若點(diǎn)P為頂點(diǎn)，即PQ=PB，如答圖2﹣2所示；

③若點(diǎn)P為頂點(diǎn)，即PQ=QB，如答圖2﹣3所示．

試題解析：（1）∵該拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），O（0，0），

∴該拋物線的解析式可設(shè)為y=a（x﹣0）（x﹣5）=ax（x﹣5）．

∵點(diǎn)B（4，4）在該拋物線上，

∴a×4×（4﹣5）=4．

∴a=﹣1．

∴該拋物線的解析式為y=﹣x（x﹣5）=﹣x2+5x；

（2）以O(shè)、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個(gè)三角形面積最大，則四邊形面積即最大．

①當(dāng)0＜x≤4時(shí)，點(diǎn)M在拋物線OB段上時(shí)，如答圖1所示．

∵B（4，4），∴易知直線OB的解析式為：y=x．

設(shè)M（x，﹣x2+5x），

過點(diǎn)M作ME∥y軸，交OB于點(diǎn)E，則E（x，x），

∴ME=（﹣x2+5x）﹣x=﹣x2+4x．

S△OBM=S△MEO+S△MEB=ME（xE﹣0）+ME（xB﹣xE）=ME•xB=ME×4=2ME，

∴S△OBM=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8

∴當(dāng)x=2時(shí)，S△OBM最大值為8，即四邊形的面積最大．

②當(dāng)4＜x≤5時(shí)，點(diǎn)M在拋物線AB段上時(shí)，

可求得直線AB解析式為：y=﹣4x+20．

設(shè)M（x，﹣x2+5x），

過點(diǎn)M作ME∥y軸，交AB于點(diǎn)E，則E（x，﹣4x+20），

∴ME=（﹣x2+5x）﹣（﹣4x+20）=﹣x2+9x﹣20．

S△ABM=S△MEB+S△MEA=ME（xE﹣xB）+ME（xA﹣xE）=ME•（xA﹣xB）=ME×1=ME，

∴S△ABM=﹣x2+x﹣10=﹣（x﹣）2+

∴當(dāng)x=時(shí)，S△ABM最大值為，即四邊形的面積最大．

比較①②可知，當(dāng)x=2時(shí)，四邊形面積最大．

當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣x2+5x=6，

∴M（2，6）；

（3）由題意可知，點(diǎn)P在線段OB上方的拋物線上．

設(shè)P（m，﹣m2+5m），則Q（m，m）

當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，

①若點(diǎn)B為頂點(diǎn)，即BP=BQ，如答圖2﹣1所示．

過點(diǎn)B作BE⊥PQ于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為線段PQ中點(diǎn)，

∴E（m，）．

∵BE∥x軸，B（4，4），

∴=4，

解得：m=2或m=4（與點(diǎn)B重合，舍去）

∴m=2；

②若點(diǎn)P為頂點(diǎn)，即PQ=PB，如答圖2﹣2所示．

易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，則△PQB為等腰直角三角形．

∴PB∥x軸，

∴﹣m2+5m=4，

解得：m=1或m=4（與點(diǎn)B重合，舍去）

∴m=1；

③若點(diǎn)P為頂點(diǎn)，即PQ=QB，如答圖2﹣3所示．

∵P（m，﹣m2+5m），Q（m，m），

∴PQ=﹣m2+4m．

又∵QB=（xB﹣xQ）=（4﹣m），

∴﹣m2+4m=（4﹣m），

解得：m=或m=4（與點(diǎn)B重合，舍去），

∴m=．

綜上所述，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，m的值為1，2或．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．