Question

已知，如圖，A是⊙O外一點(diǎn)，AB，AC分別與⊙O相切于點(diǎn)B，C，P是BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，設(shè)AO=d，BO=r．求證：△AMN的周長是一個定值，并求出這個定值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線長定理

專題：

分析：根據(jù)切線的性質(zhì)，可得出OB⊥AB，再根據(jù)勾股定理得出AB的長，根據(jù)切線長定理得出三角形的周長為定值，即可得出這個定值．

解答：解：∵AB，AC分別與⊙O相切，
∴OB⊥AB，
∵AO=d，BO=r，
∴AB=

AO2-OB2

=

d2-r2

，
∵M(jìn)N切圓O于點(diǎn)P，
∴MP=MB，NP=NC，
∴△AMN的周長=AM+AN+MN=AM+PM+PN+AN=AM+BM+AN+PN=AB+AC=2AB=2

d2-r2

，
∴△AMN的周長是一個定值，這個定值為2

d2-r2

．

點(diǎn)評：本題考查了切線長定理，即經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切線長相等且此點(diǎn)與圓心的連線平分兩切線的夾角，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．理解過點(diǎn)D和點(diǎn)E分別作圓的兩條切線是解本題的關(guān)鍵．