【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖),已知點A在x軸的正半軸上,且與原點的距離為3,拋物線y=ax2﹣4ax+3(a≠0)經(jīng)過點A,其頂點為C,直線y=1與y軸交于點B,與拋物線交于點D(在其對稱軸右側(cè)),聯(lián)結(jié)BC、CD.
(1)求拋物線的表達(dá)式及點C的坐標(biāo);
(2)點P是y軸的負(fù)半軸上的一點,如果△PBC與△BCD相似,且相似比不為1,求點P的坐標(biāo);
(3)將∠CBD繞著點B逆時針方向旋轉(zhuǎn),使射線BC經(jīng)過點A,另一邊與拋物線交于點E(點E在對稱軸的右側(cè)),求點E的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2﹣4x+3,C(2,﹣1);(2)P(0,4﹣7);(3)E(4,3)
【解析】
(1)把點A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中可得:a的值,從而得拋物線的解析式,配方得頂點C的坐標(biāo);
(2)根據(jù)∠DBC=∠PBC=45°,且相似比不為1,所以只能△CBP∽△DBC,列比例式可得BP的長,從而得點P的坐標(biāo);
(3)連接AC,過E作EH⊥BD于H,先根據(jù)勾股定理的逆定理證明△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,由等角三角函數(shù)得tan∠ABC=tan∠EBD== ,設(shè)EH=m,則BH=2m,表示E(2m,m+1),代入拋物線的解析式,可得結(jié)論.
解:(1)∵點A在x軸的正半軸上,且與原點的距離為3,
∴A(3,0),
把A(3,0)代入拋物線y=ax2﹣4ax+3中得:0=9a﹣12a+3,
∴a=1,
∴拋物線的表達(dá)式為:y=x2﹣4x+3,
y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴C(2,﹣1);
(2)當(dāng)y=1時,x2﹣4x+3=1,
解得:x1=2﹣,x2=2+,
由題意得:D(2+,1),
∵B(0,1),C(2,﹣1),
∴BC==2,BD=2+,
∵∠DBC=∠PBC=45°,且相似比不為1,
只能△CBP∽△DBC,
∴,即,
∴BP=8﹣4,
∴P(0,4﹣7);
(3)連接AC,過E作EH⊥BD于H,
由旋轉(zhuǎn)得:∠CBD=∠ABE,
∴∠EBD=∠ABC,
∵AB2=32+12=10,BC2=22+22=4,AC2=12+12=2,
∴AB2=BC2+AC2,
∴△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,
∴tan∠ABC==,
∴tan∠EBD==,
設(shè)EH=m,則BH=2m,
∴E(2m,m+1),
∵點E在拋物線上,
∴(2m)2﹣4×2m+3=m+1,
4m2﹣9m+2=0,
解得:m1=2,m2=(舍),
∴E(4,3).
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【題目】我市某化工材料經(jīng)銷商購進(jìn)一種化工材料若干千克,成本為每千克30元,物價部門規(guī)定其銷售單價不低于成本價且不高于成本價的2倍,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn),日銷售量y(千克)與銷售單價x(元)符合一次函數(shù)關(guān)系,如圖所示.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)若在銷售過程中每天還要支付其他費用450元,當(dāng)銷售單價為多少時,該公司日獲利最大?最大獲利是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=6,點D,E分別是邊BC,AC上的動點,則DA+DE的最小值為_____.
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【題目】如圖:已知銳角∠AOC,依次按照以下順序操作畫圖:
(1)在射線OA上取一點B,以點O為圓心,OB長為半徑作,交射線OC于點D,連接BD;
(2)分別以點B,D為圓心,BD長為半徑作弧,交于點M,N;
(3)連接ON,MN.
根據(jù)以上作圖過程及所作圖形可知下列結(jié)論:①OC平分∠AON;②MN∥BD;③MN=3BD;④若∠AOC=30°,則MN=ON.其中正確結(jié)論的序號是_____.
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【題目】小穎“綜合與實踐”小組學(xué)習(xí)了三角函數(shù)后,開展了測量本校旗桿高度的實踐活動.他們制訂了測量方案,并利用課余時間完成了實地測量.他們在該旗桿底部所在的平地上,選取兩個不同測點,分別測量了該旗桿頂端的仰角以及這兩個測點之間的距離.為了減小測量誤差,小組在測量仰角的度數(shù)以及兩個測點之間的距離時,都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果,如表是不完整測量數(shù)據(jù).
課題 | 測量旗桿的高度 | |||
成員 | 組長:小穎,組員:小明,小剛,小英 | |||
測量工具 | 測量角度的儀器,皮尺等 | |||
測量示意圖 | 說明: 線段GH表示學(xué)校旗桿,測量角度的儀器的高度AC=BD=1.62m,測點A,B與H在同一水平直線上,A,B之間的距離可以直接測得,且點G,H,A,B,C,D都在同一豎直平面內(nèi),點C,D,E在同一條直線上,點E在GH上. | |||
測量數(shù)據(jù) | 測量項目 | 第一次 | 第二次 | 平均值 |
∠GCE的度數(shù) | 30.6° | 31.4° | 31° | |
∠GDE的度數(shù) | 36.8° | 37.2° | 37° | |
A,B之間的距離 | 10.1m | 10.5m | m | |
… | … |
(1)任務(wù)一:完成表格中兩次測點A,B之間的距離的平均值.
(2)任務(wù)二:根據(jù)以上測量結(jié)果,請你幫助該“綜合與實踐”小組求出學(xué)校旗桿GH的高度.(精確到0.1m)(參考數(shù)據(jù):sin31°≈0.51,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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【題目】在一個不透明的布袋里裝有4個標(biāo)有1,2,3,4的小球,它們的形狀、大小、質(zhì)地完全相同,小李從布袋里隨機(jī)取出一個小球,記下數(shù)字為x,小張在剩下的3個小球中隨機(jī)取出一個小球,記下數(shù)字為y,這樣確定了點Q的坐標(biāo)(x,y).
(1)畫樹狀圖或列表,寫出點Q所有可能的坐標(biāo);
(2)求點Q(x,y)在函數(shù)y=﹣x+5圖象上的概率.
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【題目】如圖,已知直線l:y=x,過點A(0,1)作y軸的垂線交直線l于點B,過點B作直線l的垂線交y軸于點A1;過點A1作y軸的垂線交直線l于點B1,過點B1作直線l的垂線交y軸于點A2;……按此作法繼續(xù)下去,則點A2020的坐標(biāo)為______________.
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【題目】如圖1,點P為△ABC邊上一動點,沿著A→C→B的路徑行進(jìn),點P作PD⊥AB,垂足為D,設(shè)AD=x,△APD的面積為y,圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象,則依據(jù)圖中的數(shù)量關(guān)系計算△ACB的周長為( )
A.B.15C.D.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,的頂點 ,,于,交軸于點
(1)如圖①,求點的坐標(biāo);
(2)如圖②:將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得線段,連接,求點的坐標(biāo);
(3)如圖③, 點為軸正半軸上一動點, 點在第二象限內(nèi),于,且,過點作垂直軸于點,求的值.
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