Question

【題目】定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1，在中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，連接、，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，且連接、．

觀察猜想

（1）線段與 “等垂線段”（填“是”或“不是”）

猜想論證

（2）繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接，，試判斷與是否為“等垂線段”，并說明理由．

拓展延伸

（3）把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出與的積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）是，理由詳見解析；（3）49

【解析】

（1）根據(jù)題意，利用等腰三角形和三角形中位線定理得出，∠MPN=90°判定即可；

（2）由旋轉(zhuǎn)和三角形中位線的性質(zhì)得出，再由中位線定理進(jìn)行等角轉(zhuǎn)換，得出∠MPN=90°，即可判定；

（3）由題意，得出最大時，與的積最大，點(diǎn)在的延長線上，再由（1）（2）結(jié)論，得出與的積的最大值.

（1）是；

∵，

∴DB=EC，∠ADE=∠AED=∠B=∠ACB

∴DE∥BC

∴∠EDC=∠DCB

∵點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)

∴PM∥EC，PN∥BD，

∴，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC

∵∠DPN=∠PNC+∠DCB

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠ACD+∠DCB+∠B=180°-90°=90°

∴線段與是“等垂線段”；

（2）由旋轉(zhuǎn)知

∵，

∴≌（）

∴，

利用三角形的中位線得，，

∴

由中位線定理可得，

∴，

∵

∴

∵

∴

∴

∴與為“等垂線段”；

（3）與的積的最大值為49；

由（1）（2）知，

∴最大時，與的積最大

∴點(diǎn)在的延長線上，如圖所示：

∴

∴

∴.