Question

如圖1，點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點(diǎn)，如果∠APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足，我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角.

（1）如圖2，已知∠MON=90°，點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點(diǎn)，且∠APB=135°. 求證：∠APB是∠MON的智慧角；

（2）如圖1，已知∠MON=（0°<<90°），OP=2，若∠APB是∠MON的智慧角，連結(jié)AB，用含的式子分別表示∠APB的度數(shù)和△AOB的面積；

（3）如圖3，C是函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線CD分別交軸和軸于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，且滿足BC=2CA，請(qǐng)求出∠AOB的智慧角∠APB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

解：（1）證明：∵∠MON=90°，點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，

∴.

∵，∴.

∵，∴.∴.

∴.∴，即.

∴∠APB是∠MON的智慧角.

（2）∵∠APB是∠MON的智慧角，

∴，即.

∵點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，

∴.

∴.∴.

∴.

如答圖1，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OB于點(diǎn)H，

∴.

∵，∴.

（3）設(shè)點(diǎn)，則.如答圖，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥OA于點(diǎn)H.

i）當(dāng)點(diǎn)B在軸的正半軸時(shí)，

如答圖2，當(dāng)點(diǎn)A在軸的負(fù)半軸時(shí)，不可能.

如答圖3，當(dāng)點(diǎn)A在軸的正半軸時(shí)，

∵，∴.

∵∥，∴.∴.∴.

∴.

∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴.

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

ii）當(dāng)點(diǎn)B在軸的負(fù)半軸時(shí)，如答圖4

∵，∴.

∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH，∴.

∴.∴.

∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴.

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.

【考點(diǎn)】新定義和閱讀理解型問(wèn)題；單動(dòng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)問(wèn)題；相似三角形的判定和性質(zhì)；銳角三角函數(shù)定義；反比例函數(shù)的性質(zhì)；曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；分類(lèi)思想的應(yīng)用.

【分析】（1）通過(guò)證明，即可得到，從而證得∠APB是∠MON的智慧角.

（2）根據(jù)得出結(jié)果.

（3）分點(diǎn)B在軸的正半軸，點(diǎn)B在軸的負(fù)半軸兩種情況討論.