【題目】如圖1,菱形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠ABC=60°,翻折∠B,∠D,使點(diǎn)B,D兩點(diǎn)重合于對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)P,EF,GH分別是折痕(如圖2).設(shè)AE=x(0<x<2),給出下列判斷:
①當(dāng)x=1時(shí),點(diǎn)P是菱形ABCD的中心;
②當(dāng)x= 時(shí),EF+GH>AC;
③當(dāng)0<x<2時(shí),六邊形AEFCHG面積的最大值是 ;
④當(dāng)0<x<2時(shí),六邊形AEFCHG周長(zhǎng)的值不變.
其中正確結(jié)論是 . (填序號(hào))

【答案】①④
【解析】解:∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,

∴AB=BC=2,

∵∠ABC=60°,

∴AC=AB=2,BD=2 ,

由折疊知,△BEF是等邊三角形,

當(dāng)x=1時(shí),則AE=1,

∴BE=AB﹣AE=1,

由折疊知,BP=2× = = BD,

∴點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),

即:點(diǎn)P是菱形ABCD的中心,所以①正確,

如圖,

∵AE=x,

∴BE=AB﹣AE=2﹣x,

∵△BEF是等邊三角形,

∴EF=BE=2﹣x,

∴BM= EM= × EF= (2﹣x),

∴BP=2BM= (2﹣x),

∴DP=BD﹣BP=2 (2﹣x)= x,

∴DN= DP= x,

∴GH=2GN=2× x=x,

當(dāng)x= 時(shí),AE= ,

∴BE=AB﹣AE= ,

∵△BEF是等邊三角形,

∴EF=BE= ,BP= ,

∴DP= ,

∴GH=DG= ,

∴EF+GH=2=AC,所以②錯(cuò)誤;

當(dāng)0<x<2時(shí),

∵AE=x,

∴BE=2﹣x,

∴EF=2﹣x,

∴BP= (2﹣x),

∴DP= x,

∴GH=2× =x=DG=DH,

∴六邊形AEFCHG面積=S菱形ABCD﹣SBEEF﹣SDGH

= ×2×2 (2﹣x)2 x2

=2 (x﹣1)2

=﹣ (x﹣1)2+ ,

∴當(dāng)x=1時(shí),六邊形AEFCHG面積最大為 ,所以③錯(cuò)誤,

六邊形AEFCHG周長(zhǎng)=AE+EF+FC+CH+HG+AG

=x+2﹣x+x+2﹣x+x+2﹣x=6是定值,

所以④正確,即:正確的有①④,

所以答案是①④.

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的最值和菱形的性質(zhì),需要了解如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù),那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值(或最小值),即當(dāng)x=-b/2a時(shí),y最值=(4ac-b2)/4a;菱形的四條邊都相等;菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直,并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角;菱形被兩條對(duì)角線(xiàn)分成四個(gè)全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的積的一半才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)補(bǔ)全A′B′C;

2)請(qǐng)?jiān)?/span>AC邊上找一點(diǎn)D,使得線(xiàn)段BD平分△ABC的面積,在圖上作出線(xiàn)段BD;

3)利用格點(diǎn)在圖中畫(huà)出AC邊上的高線(xiàn)BE;

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A.y=﹣ x﹣
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2、
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(2)如圖2,在Rt△DEF中,∠DEF=90°,DE=1,sin∠F= .用兩塊全等的△DEF拼出一個(gè)平行四邊形,將拼得的平行四邊形畫(huà)在圖2網(wǎng)格(網(wǎng)格圖中小正方形邊長(zhǎng)均為1)中,畫(huà)出不同的兩種平行四邊形(全等的算一種),并寫(xiě)出相應(yīng)的周長(zhǎng).

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1)請(qǐng)你檢驗(yàn)說(shuō)明這個(gè)等式的正確性.

2)若a=2019b=2020,c=2021,你能很快求出a2+b2+c2abbcac的值嗎?

3)若ab=,bc=,且a2+b2+c2=1,求ab+bc+ac的值.

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(簡(jiǎn)單應(yīng)用)

2)如圖2,AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC28°,∠ADC20°,求∠P的度數(shù)(可直接使用問(wèn)題(1)中的結(jié)論)

(問(wèn)題探究)

3)如圖3,直線(xiàn)BP平分∠ABC的外角∠FBC,DP平分∠ADC的外角∠ADE,若∠A30°,∠C18°,則∠P的度數(shù)為   

(拓展延伸)

4)在圖4中,若設(shè)∠Cx,∠By,∠CAPCAB,∠CDPCDB,試問(wèn)∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為   (用x、y表示∠P

5)在圖5中,BP平分∠ABCDP平分∠ADC的外角∠ADE,猜想∠P與∠A、∠C的關(guān)系,直接寫(xiě)出結(jié)論   

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