Question

【題目】如圖1，已知拋物線經(jīng)過A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對稱軸是直線，與x軸交于點(diǎn)H．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P是該拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，求△PBC周長的最小值；

（3）如圖2，若E是線段AD上的一個動點(diǎn)（E與A、D不重合），過E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，△ADF的面積為S．

①試求S與m的函數(shù)關(guān)系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）＋

（3）①S＝；②存在，S最大值為1，E(－2，－2)

【解析】

（1）設(shè)交點(diǎn)式，然后把點(diǎn)坐標(biāo)代入求出即可得到拋物線解析式；

（2）利用配方法得到，從而得到，拋物線的對稱軸為直線，連接交直線于，如圖1，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到此時的值最小，周長的最小值，然后利用勾股定理計算出和即可得到周長的最小值；

（3）①如圖2，先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，設(shè)，，則，則可表示出，根據(jù)三角形面積公式，利用得到；

②先利用配方法得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

解：（1）由題意得，解得

∴該拋物線的表達(dá)式為

（2）∵△PBC的周長為：PB＋PC＋BC

又∵BC是定值

∴當(dāng)PB＋PC最小時，△PBC的周長最�。�

∵點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于對稱軸l對稱．

∴連接AC交l于點(diǎn)P，即點(diǎn)P為所求點(diǎn)．

∴AP＝BP

∴△PBC的周長最小值是：PB＋PC＋BC＝AC＋BC

∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)

∴AC＝，BC＝

故△PBC的周長最小值為＋

（3）①∵拋物線的表達(dá)式為＝

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－1，－4)

設(shè)直線AD的表達(dá)式為，把點(diǎn)A(－3，0)，D(－1，－4)代入

得 ，解得

∴直線AD的表達(dá)式為

∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m．

∴E(m，－2m－6)，F(m，)

∴EF＝＝

∴S＝

＝

＝

＝

＝

∴S與m的函數(shù)表達(dá)式為S＝

②存在．

∵S＝＝

∴當(dāng)m＝－2時，S最大，最大值為1．

此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－2，－2)．

本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會求拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；能利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最短路徑問題．