Question

在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接AD、BD．

（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，∠CBD 的大小為_________；

（2）如圖2，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，求∠CBD的大��；

（3）已知∠BAC的大小為m（），若∠CBD 的大小與（2）中的結(jié)果相同，請(qǐng)直接寫(xiě)出的大�。�

 

 

Answer 1

（1）30°；（2）30°；（3）α=120°-m°，α=60°或α=240-m°.

【解析】

試題分析：（1）由∠BAC=100°，AB=AC，可以確定∠ABC=∠ACB=40°，旋轉(zhuǎn)角為α，α=60°時(shí)△ACD是等邊三角形，且AC=AD=AB=CD，知道∠BAD的度數(shù)，進(jìn)而求得∠CBD的大小.

（2）由∠BAC=100°，AB=AC，可以確定∠ABC=∠ACB=40°，連結(jié)DF、BF．AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°，∠ACD=20°，由∠DCB=20°案．依次證明△DCB≌△FCB，△DAB≌△DAF．利用角度相等可以得到答案．

（3）結(jié)合（1）（2）的解題過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求得答案．

試題解析：（1）30°；（2）30°；

（2）如圖作等邊△AFC，連結(jié)DF、BF．

∴AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°．

∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠ABC=∠BCA=40°．

∵∠ACD=20°，∴∠DCB=20°．

∴∠DCB=∠FCB=20°．①

∵AC=CD，AC=FC，∴DC=FC．②

∵BC=BC，③

∴由①②③，得△DCB≌△FCB，

∴DB=BF，∠DBC=∠FBC．

∵∠BAC=100°，∠FAC=60°，∴∠BAF=40°．

∵∠ACD=20°，AC=CD，∴∠CAD=80°．∴∠DAF=20°．

∴∠BAD=∠FAD=20°．④

∵AB=AC，AC=AF，∴AB=AF．⑤

∵AD=AD，⑥

∴由④⑤⑥，得△DAB≌△DAF．∴FD=BD．∴FD=BD=FB．∴∠DBF=60°．∴∠CBD=30°．

（3）α=120°-m°，α=60°或α=240-m°．

考點(diǎn)：1.全等三角形的判定和性質(zhì)；2.等邊三角形的判定和性質(zhì)．