Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，以線段OA為邊作等邊三角形，使點(diǎn)B落在第四象限內(nèi)，點(diǎn)C為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，以線段BC為邊作等邊三角形，使點(diǎn)D落在第四象限內(nèi).

（1）如圖1，在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過程巾，連接AD.

①和全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由：

②延長(zhǎng)DA交y軸于點(diǎn)E，若，求點(diǎn)C的坐標(biāo)：

（2）如圖2，已知，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，點(diǎn)D所走過的路徑的長(zhǎng)度為_________

Answer 1

【答案】（1）①全等，見解析；②點(diǎn)C（6，0）；（2）6．

【解析】

（1）①先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，則∠OBC=∠ABD，然后可根據(jù)“SAS”可判定△OBC≌△ABD；
②由全等三角形的性質(zhì)可得∠BAD=∠BOC=∠OAB=60°，可得∠EAO=60°，可求AE=2OA=4，即可求點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）由題意可得點(diǎn)E是定點(diǎn)，點(diǎn)D在AE上移動(dòng)，點(diǎn)D所走過的路徑的長(zhǎng)度=OC=6．

解：（1）①△OBC和△ABD全等，
理由是：
∵△AOB，△CBD都是等邊三角形，
∴OB=AB，CB=DB，∠ABO=∠DBC，
∴∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，

∴△OBC≌△ABD（SAS）；
②∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，AE=2OA=4
∴OC=OA+AC=6
∴點(diǎn)C（6，0）；
（2）∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，AD=OC，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴AE=2OA=4，OE=2

∴點(diǎn)E（0，2）
∴點(diǎn)E不會(huì)隨點(diǎn)C位置的變化而變化
∴點(diǎn)D在直線AE上移動(dòng)
∵當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，
∴點(diǎn)D所走過的路徑為長(zhǎng)度為AD=OC=6．
故答案為：（1）①全等，見解析；②點(diǎn)C（6，0）；（2）6．