Question

如圖，已知圓O的弦AB、CD的延長線相交于點P，連接弧AB、弧CD的中點E、F分別交AB、CD于點M、N，求證：△PNM是等腰三角形．

Answer 1

考點：圓周角定理,等腰三角形的判定,圓心角、弧、弦的關系

專題：證明題

分析：根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關系和圓周角定理得出∠EBA和∠FEB的度數(shù)和等于

AE

、

DF

、

BD

度數(shù)和的一半，∠CDF和∠EFD的度數(shù)和等于

CF

、

BE

、

BD

度數(shù)和的一半，求出∠EBA+∠FEB=∠CDF+∠EFD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠PMN=∠PNM，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可．

解答：證明：
連接BE和DF，
∵弧AB、弧CD的中點分別是E、F，
∴

AE

=

BE

，

CF

=

DF

，
∵∠EBA和∠FEB的度數(shù)和等于

AE

、

DF

、

BD

度數(shù)和的一半，
∠CDF和∠EFD的度數(shù)和等于

CF

、

BE

、

BD

度數(shù)和的一半，
∴∠EBA+∠FEB=∠CDF+∠EFD，
∵∠PMN=∠EBA+∠FEB，∠PNM=∠CDF+∠EFD，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN，
即△PMN是等腰三角形．

點評：本題考查了圓心角、弧弦之間的關系，等腰三角形的判定，三角形的外角性質(zhì)，圓周角定理的應用，能推出∠PMN=∠PNM是解此題的關鍵，難度適中．