Question

【題目】直線MN與直線PQ相交于O，∠POM＝60°，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)．

(1)如圖1，∠BAO=70°,已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，試求出∠AEB的度數(shù)．

(2)如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CED的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值．

(3)在（2）的條件下，在△CDE中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，請(qǐng)直接寫出∠DCE的度數(shù)．

Answer 1

【答案】(1) ∠AEB的度數(shù)為120°；(2) ∠CED的大小不發(fā)生變化，其值為60°；(3) ∠DCE的度數(shù)為40°或80°．

【解析】

（1）由∠POM＝60°，∠BAO=70°，可求出∠ABO的值，根據(jù)AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，可得∠EAB和∠EBA的值，在△EAB中，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得出∠AEB的大小；

（2）不發(fā)生變化，延長(zhǎng)BC、AD交于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和可得∠F =90°-∠AOB，∠CED =90°-∠F，即可得出∠CED的度數(shù)；

（3）分三種情況求解即可．

解：（1）∵∠POM＝60°，∠BAO=70°，

∴∠ABO=50°．

∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，

∴∠EAB=∠OAB=35°，∠EBA=∠OBA=25°，

∴∠AEB=180°-35°-25°=120°；

（2）不發(fā)生變化，理由如下：

如圖，延長(zhǎng)BC、AD交于點(diǎn)F，

∵點(diǎn)D、C分別是∠PAB和∠ABM的角平分線上的兩點(diǎn)，

∴∠FAB=∠PAB=(180°-∠OAB)，∠FBA=∠MBA=(180°-∠OBA)，

∴∠FAB+∠FBA=(180°-∠OAB)+(180°-∠OBA)=(180°+∠AOB)=90°+∠AOB，

∵∠AOB=60°，

∴∠F=180°-(∠FAB+∠FBA)=90°-∠AOB=60°，

同理可求∠CED =90°-∠F=60°；

（3）①當(dāng)∠DCE=2∠E時(shí)，顯然不符合題意；

②當(dāng)∠DCE=2∠CDE時(shí)，∠DCE==80°；

③當(dāng)∠DCE=∠CDE時(shí)，∠DCE==40°，

綜上可知，∠DCE的度數(shù)40°或80°．