Question

在圖1、圖2、圖3、圖4中，點(diǎn)P在線段BC上移動（不與B、C重合），M在BC的延長線上．

（1）如圖1，△ABC和△APE均為正三角形，連接CE．

①求證：△ABP≌△ACE．

②∠ECM的度數(shù)為　 　°．

（2）①如圖2，若四邊形ABCD和四邊形APEF均為正方形，連接CE．則∠ECM的度數(shù)為　 　°．

②如圖3，若五邊形ABCDF和五邊形APEGH均為正五邊形，連接CE．則∠ECM的度數(shù)為　 　°．

（3）如圖4，n邊形ABC…和n邊形APE…均為正n邊形，連接CE，請你探索并猜想∠ECM的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的數(shù)量關(guān)系（用含n的式子表示∠ECM的度數(shù)），并利用圖4（放大后的局部圖形）證明你的結(jié)論．

 

 

Answer 1

(1)60；（2）45，36．（3）.

【解析】

試題分析：（1）①由△ABC與△APE均為正三角形得出相等的角與邊，即可得出△ABP≌△ACE．

②由△ABP≌△ACE，得出∠ACE=∠B=60°，即可得出∠ECM的度數(shù)．

（2）①作EN⊥BN，交BM于點(diǎn)N，由△ABP≌△ACE，利用角及邊的關(guān)系，得出CN=EN，即可得出∠ECM的度數(shù)．

②作EN⊥BN，交BM于點(diǎn)N，由△ABP≌△ACE，得出角及邊的關(guān)系，得出CN=EN，即可得出∠ECM的度數(shù)．

（3）過E作EK∥CD，交BM于點(diǎn)K，由正多邊形的性質(zhì)可得出△ABP≌△PKE，利用角及邊的關(guān)系，得出CK=KE，即△EKC是等腰三角形，根據(jù)多邊形的內(nèi)角即可求出∠ECM的度數(shù)．[來

試題解析：（1）①證明：如圖1，

∵△ABC與△APE均為正三角形，

∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，

∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC

即∠BAP=∠CAE，

在△ABP和△ACE中，

，

∴△ABP≌△ACE （SAS）．

②∵△ABP≌△ACE，

∴∠ACE=∠B=60°，

∵∠ACB=60°，

∠ECM=180°-60°-60°=60°．

（2）①如圖2，作EN⊥BN，交BM于點(diǎn)N

∵四邊形ABCD和APEF均為正方形，

∴AP=PE，∠B=∠ENP=90°，

∴∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=90°，

即∠BAP=∠NPE，

在△ABP和△PNE中，

，

∴△ABP≌△ACE （AAS）．

∴AB=PN，BP=EN，

∵BP+PC=PC+CN=AB，

∴BP=CN，

∴CN=EN，

∴∠ECM=∠CEN=45°

②如圖3，作EN∥CD交BM于點(diǎn)N，

∵五邊形ABCDF和APEGH均為正五邊方形，

∴AP=PE，∠B=∠BCD，

∵EN∥CD，

∴∠PNE=∠BCD，

∴∠B=∠PNE

∵∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=180°-∠B，

即∠BAP=∠NPE，

在△ABP和△PNE中，

，

∴△ABP≌△ACE （AAS）．

∴AB=PN，BP=EN，

∵BP+PC=PC+CN=AB，

∴BP=CN，

∴CN=EN，

∴∠NCE=∠NEC，

∵∠CNE=∠BCD=108°，

∴∠ECM=∠CEN=（180°-∠CNE）=×（180°-108°）=36°．

（3）如圖4中，過E作EK∥CD，交BM于點(diǎn)K，

∵n邊形ABC…和n邊形APE…為正n邊形，

∴AB=BC AP=PE

∠ABC=∠BCD=∠APE=

∵∠APK=∠ABC+∠BAP，∠APK=∠APE+∠EPK

∴∠BAP=∠KPE

∵EK∥CD，

∴∠BCD=∠PKE

∴∠ABP=∠PKE，

在△ABP和△PKE中，

，

∴△ABP≌△PKE（AAS）

∴BP=EK，AB=PK，

∴BC=PK，

∴BC-PC=PK-PC，

∴BP=CK，

∴CK=KE，

∴∠KCE=∠KEC，

∵∠CKE=∠BCD=

∴∠ECK=．

考點(diǎn)：四邊形綜合題．