Question

如圖，已知直線y=-kx+4k（k＞0）與x軸y軸分別交于A、B兩點，以O(shè)A為直徑作半圓，圓心為C，過A作x軸的垂線AT，M是線段OB上一動點（與O點不重合），過M點作半圓的切線交直線AT于N，交AB于F，切點為P．連接CN、CM．
（1）若∠OCM=30°，求P的坐標；
（2）設(shè)OM=x，AN=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若OM=1，求當k為何值時，直線AB恰好平分梯形OMNA的面積．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過P點作PE⊥y軸，垂足為E，由直線AB：y=-kx+4k求A、B兩點坐標，得A（4，0），B（0，4k），即直徑OA=4，則半徑OC=2，在Rt△OMC中，由∠OCM=30°求OM，由切線長定理可知PM=OM，而∠PMC=∠OMC=90°-30°=60°，則∠PME=60°，解直角三角形求PE，EM即可；
（2）過M點作MD⊥AN，垂足為D，則MD=OA=4，MN=PM+PN=OM+AN，在Rt△MDN中，由勾股定理求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由OM=1，利用（2）的函數(shù)關(guān)系式求AN，再求直線MN的解析式，將直線AB，直線MN的解析式聯(lián)立求F點的坐標，表示△AFN的面積，由S_△AFM=

1

2

S_梯形OMNA，列方程求k的值．

解答：解：（1）過P點作PE⊥y軸，垂足為E，
∵直線ABy=-kx+4k，∴A（4，0），B（0，4k），
∴OA=4，OC=2，
在Rt△OMC中，∠OCM=30°∴OM=OC•tan30°=

2 3

3

，
由切線長定理可知PM=OM=

2 3

3

，
且∠PMC=∠OMC=90°-30°=60°，∴∠PME=60°，
在Rt△PME中，PE=PM•sin60°=1，EM=PM•cos60°=

3

3

，
∴OE=OM+ME=

2 3

3

+

3

3

=

3

，即P（1，

3

）；

（2）過M點作MD⊥AN，垂足為D，
∵MD=OA=4，MN=PM+PN=OM+AN=x+y，DN=AN-AD=AN-OM=y-x，
在Rt△MDN中，MD²+DN²=MN²，即4²+（y-x）²=（x+y）²，
整理，得y=

4

x

；

（3）∵OM=x=1，
∴AN=4，
則M（0，1），N（4，4），
設(shè)直線MN的解析式y(tǒng)=ax+b，則

b=1 4a+b=4

，
解得

a= 3 4 b=1

，
∴直線AB：y=

3

4

x+1，
聯(lián)立

y= 3 4 x+1 y=-kx+4k

，
解得x=

16k-4

4k+3

，即為F點的橫坐標，
∴S_△AFN=

1

2

×4×（4-

16k-4

4k+3

）=

32

4k+3

，
依題意，得S_△AFN=

1

2

S_梯形OMNA，即

32

4k+3

=

1

2

×

1

2

×4×（1+4），
解得k=

17

20

，
∴當k=

17

20

時，直線AB恰好平分梯形OMNA的面積．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是明確一次函數(shù)點的坐標的求法和三角形、梯形面積的求法．