Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（8，0），B（0，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），動(dòng)點(diǎn)D是射線BO上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CD，過點(diǎn)C作CD⊥FC，交一次函數(shù)圖象于點(diǎn)F．
（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；
（2）過點(diǎn)F作FE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，當(dāng)△OCD與△EFC全等時(shí)，求出滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在使△ACF是等腰三角形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+4；（2）（2，3）；（3）存在，（0，4）或（8-2 ，）

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法，由點(diǎn)A（8，0），B（0，4）即可求出直線解析式．
（2）△OCD與△EFC全等分為兩種情況，由全等得出線段EF或CE長(zhǎng)度，進(jìn)而求出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，代入直線解析式就可以求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
（3）△ACF是等腰三角形，可以分三種情況討論，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），
將點(diǎn)A（8，0），B（0，4）代入得：
，
解得：k=-，b=4．
故一次函數(shù)解析式為：y=-x+4．
（2）∵△OCD與△EFC全等，
∴可以分兩種情況：△OCD≌△EFC或△OCD≌△ECF，

①當(dāng)△OCD≌△EFC時(shí)，
OC=EF=3，
∴點(diǎn)F縱坐標(biāo)為3，
將y=3代入直線解析式得：x=2，
∴F（2，3）．
②當(dāng)△OCD≌△ECF，
OC=EC=3，
∴點(diǎn)F橫坐標(biāo)為6，
將x=6代入直線解析式得：y=1，
∴F（6，1）（不合題意舍棄）．
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，3）
（3）存在．
△ACF是等腰三角形，
①當(dāng)CF=AF時(shí)，
根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，得點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，
AC=5，CE=，
∴OE=，即F點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
將x=代入一次函數(shù)得y=，
∴F（）．

此時(shí)點(diǎn)D會(huì)出現(xiàn)在點(diǎn)B的上方，與題意不符，舍去；

②當(dāng)AF=AC時(shí)，OB=4，OA=8，
AB=4．
∵EF∥OB，
∴△AEF∽△AOB．
∴ ，
解得：EF=．
將y=代入直線解析式，得：x=8-2，
∴F（8-2，）．
③當(dāng)CF=AC=5時(shí)，
∵OC=3，OB=4，
∴BC=5，
此時(shí)，CB=CF，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，

∴F(0,4) ，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為：（0，4)或（8-2，）．