Question

【題目】綜合題
（1）如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過(guò)A點(diǎn)的一條直線，且B、C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求證：BD=DE+CE．

（2）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)（BD＜CE），其余條件不變，問(wèn)BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)予以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°

∴∠ABD=∠CAE，

∵AB=AC，

在△ABD和△CAE中，

∵ ，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∵AE=AD+DE，

∴BD=DE+CE；

（2）解：BD=DE﹣CE；

∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE，

∴∠ABD=∠CAE，

∵AB=AC，

在△ABD和△CAE中，

∵ ，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∴AD+AE=BD+CE，

∵DE=BD+CE，

∴BD=DE﹣CE．

【解析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABD=∠CAE，根據(jù)三角形全等的條件得到△ABD≌△CAE，得到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，證明得到BD=DE+CE；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到∠ABD=∠CAE，得到△ABD≌△CAE，到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，證明得到BD=DE-CE.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等才能正確解答此題．