Question

設(shè)a、b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)m≤x≤n時(shí)，有m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”．

（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1，2014]上的“閉函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；

（2）若一次函數(shù)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式；

（3）若二次函數(shù)是閉區(qū)間[a，b]上的“閉函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

解：（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1，2014]上的“閉函數(shù)”。理由如下：

∵反比例函數(shù)在第一象限，y隨x的增大而減小，且

當(dāng)x=1時(shí)，y=2014；當(dāng)x=2014時(shí)，y=1，

∴當(dāng)1≤x≤2014時(shí)，有1≤y≤2014，符合閉函數(shù)的定義，故反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1，2014]上的“閉函數(shù)”。

（3）∵，

∴該二次函數(shù)的圖象開口方向向上，最小值是，且當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大。

①當(dāng)b≤2時(shí)，此二次函數(shù)y隨x的增大而減小，則根據(jù)“閉函數(shù)”的定義得，

，兩式相減，

得

∵，∴。

∴

解得，或（均不合題意，舍去）。

②當(dāng)a＜2＜b時(shí)，此時(shí)二次函數(shù)的最小值是=a，根據(jù)“閉函數(shù)”的定義得

【考點(diǎn)】新定義，反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，解二元方程組，分類思想的應(yīng)用。