Question

 如圖，已知拋物線與x軸交于點A，與y軸交于點B，動點Q從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在線段OA上運動，過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N，交拋物線于點P，設運動的時間為t秒。

問：△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由。

Answer 1

解：∵拋物線與x軸交于點A，與y軸交于點B，

        ∴A(2，0),B(0，4),即OA=2,OB=4。

∴tan∠OAB=2。

若△AON為等腰三角形，有三種情況：      

（I）若ON=AN，如圖1所示，

過點N作NQ⊥OA于點Q，

則Q為OA中點，OQ=OA=1，

∴t=。

∴t=。   

（III）若OA=AN，如圖3所示，

過點N作NQ⊥OA于點Q，

設AQ=x，則AQ•tan∠OAB=2x，

在Rt△AND中，由勾股定理得：NQ²+AQ²=AN²，

即，解得x₁=，x₂=（舍去）。

∴x=，OD=2﹣x=2﹣。

∴t=1﹣。

綜上所述，當t為秒、秒，1﹣秒時，△AON為等腰三角形。

【考點】雙動點問題，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，待定系數(shù)法，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，分類思想的應用。