Question

【題目】（本題滿分8分）如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是DB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

∠EAB=∠ADB.

（1）求證：EA是⊙O的切線；

（2）已知點(diǎn)B是EF的中點(diǎn)，求證：以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△AEF相似；

（3）在（2）的條件下，已知AF=4，CF=2，求AE的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）AE=4

【解析】試題分析：（1）連接CD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得出∠ADB+∠EDC=90°，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出∠BAC=∠EDC，然后結(jié)合已知條件得出∠EAB+∠BAC=90°，從而說(shuō)明切線；（2）連接BC，根據(jù)直徑的性質(zhì)得出∠ABC=90°，根據(jù)B是EF的中點(diǎn)得出AB=EF，即∠BAC=∠AFE，則得出三角形相似；（3）根據(jù)三角形相似得出，根據(jù)AF和CF的長(zhǎng)度得出AC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)EF=2AB代入求出AB和EF的長(zhǎng)度，最后根據(jù)Rt△AEF的勾股定理求出AE的長(zhǎng)度．

試題解析：（1）證明：如答圖1，連接CD， ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°．

∴∠ADB+∠EDC=90°．

∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB， ∴∠BAC=∠EAB+∠BAC=90°．∴EA是⊙O的切線．

（2）證明：如答圖2，連接BC， ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°．∴∠CBA=∠ABC=90°．

∵B是EF的中點(diǎn)，∴在Rt△EAF中，AB=BF． ∴∠BAC=∠AFE． ∴△EAF∽△CBA．

（3）∵△EAF∽△CBA，∴． ∵AF=4，CF=2， ∴AC=6，EF=2AB．

∴，解得AB=2．∴EF=4．

∴AE=．