Question

如圖，已知直角坐標(biāo)平面上的△ABC，AC=CB，∠ACB=90°，且A（﹣1，0），B（m，n），C（3，0）．若拋物線y=ax²+bx﹣3經(jīng)過A、C兩點．

（1）求a、b的值；

（2）將拋物線向上平移若干個單位得到的新拋物線恰好經(jīng)過點B，求新拋物線的解析式；

（3）設(shè)（2）中的新拋物的頂點P點，Q為新拋物線上P點至B點之間的一點，以點Q為圓心畫圖，當(dāng)⊙Q與x軸和直線BC都相切時，聯(lián)結(jié)PQ、BQ，求四邊形ABQP的面積．

Answer 1

              解：（1）∵拋物線y=ax²+bx﹣3經(jīng)過A（﹣1，0）、C（3，0），

∴，

解得：；

（2）設(shè)拋物線向上平移k個單位后得到的新拋物線恰好經(jīng)過點B，

則新拋物線的解析式為y=x²﹣2x﹣3+k，

∵A（﹣1，0）、C（3，0），

∴CB=AC=3﹣（﹣1）=4，

∵∠ACB=90°，∴點B的坐標(biāo)為（3，4）．

∵點B（3，4）在拋物線y=x²﹣2x﹣3+k上，

∴9﹣6﹣3+k=4，

解得：k=4，

∴新拋物線的解析式為y=x²﹣2x+1；

（3）設(shè)⊙Q與x軸相切于點D，與直線BC相切于點E，連接QD、QE，如圖所示，

則有QD⊥OC，QE⊥BC，QD=QE，

∴∠QDC=∠DCE=∠QEC=90°，

∴四邊形QECD是矩形．

∵QD=QE，

∴矩形QECD是正方形，

∴QD=DC．

設(shè)點Q的橫坐標(biāo)為t，

則有OD=t，QD=DC=OC﹣OD=3﹣t，

∴點Q的坐標(biāo)為（t，3﹣t）．

∵點Q在拋物線y=x²﹣2x+1上，

∴t²﹣2t+1=3﹣t，

解得：t₁=2，t₂=﹣1．

∵Q為拋物線y=x²﹣2x+1上P點至B點之間的一點，

∴t=2，點Q的坐標(biāo)為（2，1），

∴OD=2，QD=CD=1．

由y=x²﹣2x+1=（x﹣1）²得頂點P的坐標(biāo)為（1，0），

∴OP=1，PD=OD﹣OP=2﹣1=1，

∴S_{四邊形ABQP}=S_△ACB﹣S_△PDQ﹣S_梯形DQBC

=AC•BC﹣PD•QD﹣（QD+BC）•DC

=×4×4﹣×1×1﹣×（1+4）×1

=5，

∴四邊形ABQP的面積為5．