Question

已知A、D是一段圓弧上的兩點(diǎn)，且在直線l的同側(cè)，分別過(guò)這兩點(diǎn)作l的垂線，垂足為B、C，E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD、AE、DE，且∠AED=90°．
（1）如圖①，如果AB=6，BE=4，CE=12，求CD的長(zhǎng)．
（2）如圖②，若點(diǎn)E恰為這段圓弧的圓心，則線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并予以證明．再探究：當(dāng)A、D分別在直線l兩側(cè)且AB≠CD，而其余條件不變時(shí)，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等證明Rt△ABE∽R(shí)t△ECD，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等求得CD的長(zhǎng)；
（2）可以證明Rt△ABE≌Rt△ECD，得到對(duì)應(yīng)線段相等，根據(jù)圖形就可得到線段之間的和差關(guān)系．

解答：解：（1）∵∠AED=90°
∴∠AEB+∠DEC=90°
又∵∠DEC+∠EDC=90°
∴∠AEB=∠EDC
又∵∠ABE=∠ECD=90°
∴△ABE∽△ECD
∴

AB

EC

=

BE

CD

即：

6

12

=

3

CD

∴CD=8．
（2）（Ⅰ）猜想：AB+CD=BC．
證明：在Rt△ABE中，∵∠ABE=90°
∴∠BAE=90°-∠AEB，
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°-∠AEB．
∴∠BAE=∠CED．
∵DC⊥BC于點(diǎn)C，
∴∠ECD=90°．
由已知，有AE=ED，
在Rt△ABE和Rt△ECD中，

∠ABE=∠ECD=900 ∠BAE=∠CED AE=ED

，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS）．
∴AB=EC，BE=CD．
∴BC=BE+EC=CD+AB，即AB+CD=BC，
∴BC=AB+CD；
（Ⅱ）當(dāng)AB＞CD，BC=AB-CD；
當(dāng)AB＜CD，BC=CD-AB．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的有關(guān)知識(shí)、相似三角形的性質(zhì)和判定以及全等三角形的性質(zhì)和判定．