Question

如圖，點(diǎn)O在邊長(zhǎng)為6

2

的正方形ABCD的對(duì)角線AC上，以O(shè)為圓心OA為半徑的⊙O交AB于點(diǎn)E．
（1）⊙O過點(diǎn)E的○切線與BC交于點(diǎn)F，當(dāng)0＜OA＜6時(shí)，求∠BFE的度數(shù)；
（2）設(shè)⊙O與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，⊙O過點(diǎn)M的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，當(dāng)6＜OA＜12時(shí)，利用備用圖作出圖形，求∠BNM的度數(shù)；
（3）在（2）條件下，求出當(dāng)點(diǎn)O與C點(diǎn)重合時(shí)DM的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連結(jié)OE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠2=45°，再由OE=OA得到∠1=∠2=45°，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OEF=90°，則∠BEF=45°，易得∠BFE=45°；
（2）連結(jié)OM，由OM=OA得到∠OMA=∠OAM=45°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OMN=90°，則∠BMN=45°，易得∠BNM=45°；
（3）連結(jié)CM、DM，由于∠CMA=∠CAM=45°，則△CMA為等腰直角三角形，所以AM=

2

AC，根據(jù)正方形的性質(zhì)由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6

2

得到AC=

2

×6

2

=12，所以AM=12

2

，然后在Rt△ADM中根據(jù)勾股定理計(jì)算DM．

解答：解：（1）連結(jié)OE，如圖1，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠2=45°，
∵OE=OA，
∴∠1=∠2=45°，
∵EF為⊙O的切線，
∴OE⊥EF，
∴∠OEF=90°，
∴∠BEF=45°，
而∠B=90°，
∴∠BFE=45°；
（2）連結(jié)OM，如圖2，
∵OM=OA，
∴∠OMA=∠OAM=45°，
∵M(jìn)N為⊙O的切線，
∴OM⊥MN，
∴∠OMN=90°，
∴∠BMN=45°，
而∠MBN=90°，
∴∠BNM=45°；
（3）連結(jié)CM、DM，如圖3，
∵∠CMA=∠CAM=45°，
∴△CMA為等腰直角三角形，
∴AM=

2

AC，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6

2

，
∴AC=

2

×6

2

=12，
∴AM=12

2

，
在Rt△ADM中，DM=

AM2+AD2

=

(12 2 )2+(6 2 )2

=6

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理和正方形的性質(zhì)．