Question

如圖，已知拋物線y=﹣（x²﹣7x+6）的頂點坐標為M，與x軸相交于A，B兩點（點B在點A的右側(cè)），與y軸相交于點C．

（1）用配方法將拋物線的解析式化為頂點式：y=a（x﹣h）²+k（a≠0），并指出頂點M的坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上找點R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和點R的坐標；

（3）以AB為直徑作⊙N交拋物線于點P（點P在對稱軸的左側(cè)），求證：直線MP是⊙N的切線．

Answer 1

    （1）解：∵y=﹣（x²﹣7x+6）=﹣（x²﹣7x）﹣3=﹣（x﹣）²+，

∴拋物線的解析式化為頂點式為：y=﹣（x﹣）²+，

頂點M的坐標是（，）；

（2）解：∵y=﹣（x²﹣7x+6），

∴當y=0時，﹣（x²﹣7x+6）=0，

解得x=1或6，

∴A（1，0），B（6，0），

∵x=0時，y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

連接BC，則BC與對稱軸x=的交點為R，連接AR，

則CR+AR=CR+BR=BC，根據(jù)兩點之間線段最短可知此時CR+AR的值最小，

最小值為BC==3．

設直線BC的解析式為y=kx+b，

∵B（6，0），C（0，﹣3），

∴，

解得，

∴直線BC的解析式為：y=x﹣3，

令x=，得y=×﹣3=﹣，

∴R點坐標為（，﹣）；

（3）證明：設點P坐標為（x，﹣x²+x﹣3）．

∵A（1，0），B（6，0），

∴N（，0），

∴以AB為直徑的⊙N的半徑為AB=，

∴NP=，

即（x﹣）²+（﹣x²+x﹣3）²=（）²，

化簡整理得，x⁴﹣14x³+65x²﹣112x+60=0，

（x﹣1）（x﹣2）（x﹣5）（x﹣6）=0，

解得x₁=1（與A重合，舍去），x₂=2，x₃=5（在對稱軸的右側(cè)，舍去），x₄=6（與B重合，舍去），

∴點P坐標為（2，2）．

∵M（，），N（，0），

∴PM²=（2﹣）²+（2﹣）²=，

PN²=（2﹣）²+2²==，

MN²=（）²=，

∴PM²+PN²=MN²，

∴∠MPN=90°，

∵點P在⊙N上，

∴直線MP是⊙N的切線．