Question

如圖，已知拋物線y=﹣（x²﹣7x+6）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．

（1）用配方法將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式：y=a（x﹣h）²+k（a≠0），并指出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找點(diǎn)R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和點(diǎn)R的坐標(biāo)；

（3）以AB為直徑作⊙N交拋物線于點(diǎn)P（點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè)），求證：直線MP是⊙N的切線．

Answer 1

    （1）解：∵y=﹣（x²﹣7x+6）=﹣（x²﹣7x）﹣3=﹣（x﹣）²+，

∴拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式為：y=﹣（x﹣）²+，

頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，）；

（2）解：∵y=﹣（x²﹣7x+6），

∴當(dāng)y=0時(shí)，﹣（x²﹣7x+6）=0，

解得x=1或6，

∴A（1，0），B（6，0），

∵x=0時(shí)，y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

連接BC，則BC與對(duì)稱軸x=的交點(diǎn)為R，連接AR，

則CR+AR=CR+BR=BC，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)CR+AR的值最小，

最小值為BC==3．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

∵B（6，0），C（0，﹣3），

∴，

解得，

∴直線BC的解析式為：y=x﹣3，

令x=，得y=×﹣3=﹣，

∴R點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）；

（3）證明：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，﹣x²+x﹣3）．

∵A（1，0），B（6，0），

∴N（，0），

∴以AB為直徑的⊙N的半徑為AB=，

∴NP=，

即（x﹣）²+（﹣x²+x﹣3）²=（）²，

化簡整理得，x⁴﹣14x³+65x²﹣112x+60=0，

（x﹣1）（x﹣2）（x﹣5）（x﹣6）=0，

解得x₁=1（與A重合，舍去），x₂=2，x₃=5（在對(duì)稱軸的右側(cè)，舍去），x₄=6（與B重合，舍去），

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2）．

∵M(jìn)（，），N（，0），

∴PM²=（2﹣）²+（2﹣）²=，

PN²=（2﹣）²+2²==，

MN²=（）²=，

∴PM²+PN²=MN²，

∴∠MPN=90°，

∵點(diǎn)P在⊙N上，

∴直線MP是⊙N的切線．