【題目】定義:點P是△ABC內(nèi)部或邊上的點(頂點除外),在△PAB,△PBC,△PCA中,若至少有一個三角形與△ABC相似,則稱點P是△ABC的自相似點.
例如:如圖1,點P在△ABC的內(nèi)部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,則△BCP∽△ABC,故點P是△ABC的自相似點.
請你運用所學(xué)知識,結(jié)合上述材料,解決下列問題:
在平面直角坐標(biāo)系中,點M是曲線y= (x>0)上的任意一點,點N是x軸正半軸上的任意一點.
(1)如圖2,點P是OM上一點,∠ONP=∠M,試說明點P是△MON的自相似點;當(dāng)點M的坐標(biāo)是( ,3),點N的坐標(biāo)是( ,0)時,求點P的坐標(biāo);
(2)如圖3,當(dāng)點M的坐標(biāo)是(3, ),點N的坐標(biāo)是(2,0)時,求△MON的自相似點的坐標(biāo);
(3)是否存在點M和點N,使△MON無自相似點?若存在,請直接寫出這兩點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵∠ONP=∠M,∠NOP=∠MON,
∴△NOP∽△MON,
∴點P是△MON的自相似點;
過P作PD⊥x軸于D,則tan∠POD= ,
∴∠AON=60°,
∵當(dāng)點M的坐標(biāo)是( ,3),點N的坐標(biāo)是( ,0),
∴∠MNO=90°,
∵△NOP∽△MON,
∴∠NPO=∠MNO=90°,
在Rt△OPN中,OP=ONcos60°= ,
∴OD=OPcos60°= × = ,PD=OPsin60°= × = ,
∴P( , );
(2)
解:作ME⊥x軸于H,如圖3所示:
∵點M的坐標(biāo)是(3, ),點N的坐標(biāo)是(2,0),
∴OM= =2 ,直線OM的解析式為y= x,ON=2,∠MOH=30°,
分兩種情況:
①如圖3所示:
∵P是△MON的相似點,
∴△PON∽△NOM,作PQ⊥x軸于Q,
∴PO=PN,OQ= ON=1,
∵P的橫坐標(biāo)為1,
∴y= ×1= ,
∴P(1, );
②如圖4所示:
由勾股定理得:MN= =2,
∵P是△MON的相似點,
∴△PNM∽△NOM,
∴
解得:PN= ,
即P的縱坐標(biāo)為 ,代入y= 得: = x,
解得:x=2,
∴P(2, );
綜上所述:△MON的自相似點的坐標(biāo)為(1, )或(2, );
(3)
解:存在點M和點N,使△MON無自相似點,M( ,3),N(2 ,0);理由如下:
∵M( ,3),N(2 ,0),
∴OM=2 =ON,∠MON=60°,
∴△MON是等邊三角形,
∵點P在△ABC的內(nèi)部,
∴∠PBC≠∠A,∠PCB≠∠ABC,
∴存在點M和點N,使△MON無自相似點.
【解析】(1)由∠ONP=∠M,∠NOP=∠MON,得出△NOP∽△MON,證出點P是△MON的自相似點;過P作PD⊥x軸于D,則tan∠POD= ,求出∠AON=60°,由點M和N的坐標(biāo)得出∠MNO=90°,由相似三角形的性質(zhì)得出∠NPO=∠MNO=90°,在Rt△OPN中,由三角函數(shù)求出OP= ,OD= ,PD= ,即可得出答案;(2)作ME⊥x軸于H,由勾股定理求出OM=2 ,直線OM的解析式為y= x,ON=2,∠MOH=30°,分兩種情況:①作PQ⊥x軸于Q,由相似點的性質(zhì)得出PO=PN,OQ= ON=1,求出P的縱坐標(biāo)即可;②求出MN= =2,由相似三角形的性質(zhì)得出 ,求出PN= ,在求出P的橫坐標(biāo)即可;(3)證出OM=2 =ON,∠MON=60°,得出△MON是等邊三角形,由點P在△ABC的內(nèi)部,得出∠PBC≠∠A,∠PCB≠∠ABC,即可得出結(jié)論.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解反比例函數(shù)的圖象的相關(guān)知識,掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線.反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.有兩條對稱軸:直線y=x和 y=-x.對稱中心是:原點,以及對反比例函數(shù)的性質(zhì)的理解,了解性質(zhì):當(dāng)k>0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減。 當(dāng)k<0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D為AB邊上一點,
(1)求證:△ACE≌△BCD;
(2)若AE=3,AD=2,求DE的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A(﹣1,0),C(1,4),點B在x軸上,且AB=3.
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)求△ABC的面積;
(3)在y軸上是否存在點P,使以A、B、P三點為頂點的三角形的面積為10?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中描出點 A(﹣2,0)、B(3,1)、C(2,3),將各點用線段依次 連接起來,并解答如下問題:
(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出△ A′B′C′,使它與△ ABC 關(guān)于 x 軸對稱,并直接寫出△ A′B′C′三個頂點的坐標(biāo);
(2)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國際象棋、中國象棋和圍棋號稱世界三大棋種. 國際象棋中的“皇后”的威力可比中國象棋中的“車”大得多:“皇后”不僅能控制她所在的行與列中的每一個小方格,而且還能控制“斜”方向的兩條直線上的每一個小方格.如圖甲是一個4×4的小方格棋盤,圖中的“皇后Q”能控制圖中虛線所經(jīng)過的每一個小方格.
(1)在如圖乙的小方格棋盤中有一“皇后Q”,她所在的位置可用“(2,3)”來表示,請說明“皇后Q”所在的位置“(2,3)”的意義,并用這種表示法分別寫出棋盤中不能被該“皇后Q”所控制的四個位置.
(2)如圖丙也是一個4×4的小方格棋盤,請在這個棋盤中放入四個“皇后Q”,使這四個“皇后Q”之間互不受對方控制(在圖丙中的某四個小方格中標(biāo)出字母Q即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】完成下列證明過程:
如圖,∠1=∠2,AC平分∠DAB.
求證:DC∥AB.
證明:因為AC平分∠DAB(已知),
所以∠1=∠3(_____________ ).
又因為∠1=∠2(____________),
所以∠2=∠3(______________),
所以DC∥AB(________________).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等邊三角形ABC的邊長為6,在AC,BC邊上各取一點E、F,連接AF,BE相交于點P,若AE=CF,則∠APB=______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在數(shù)軸上 A點表示的數(shù)是 a ,B 點表示的數(shù)是b ,且 ab滿足|a 8|b-220.動線段 CD=4(點 D 在點 C 的右側(cè)),從點 C與點 A重合的位置出發(fā),以每秒 2 個單位的速度向右運動,運動時間為 t秒.
(1)求a,b的值, 運動過程中,點 D 表示的數(shù)是多少,(用含有 t 的代數(shù)式表示)
(2)在 B、C、D 三個點中,其中一個點是另外兩個點為端點的線段的中點,求 t 的值;
(3)當(dāng)線段 CD 在線段 AB上(不含端點重合)時,如圖,圖中所有線段的和記作為 S, 則 S的值是否隨時間 t 的變化而變化?若變化,請說明理由;若不變,請求出 S值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線l1∥l2,直線l3和直線l1、l2交于點C和D,點P是直線CD上的一個動點。
(1)如果點P運動到C、D之間時,試探究∠PAC,∠APB,∠PBD之間的關(guān)系,并說明理由。
(2)若點P在C、D兩點的外側(cè)運動時(P點與點C、D不重合),∠PAC,∠APB,∠PBD之間 的關(guān)系是否發(fā)生改變?請說明理由。
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