【題目】如圖,已知直角坐標系中,A、B、D三點的坐標分別為A(8,0),B(0,4),D(﹣1,0),點C與點B關于x軸對稱,連接AB、AC.
(1)求過A、B、D三點的拋物線的解析式;
(2)有一動點E從原點O出發(fā),以每秒2個單位的速度向右運動,過點E作x軸的垂線,交拋物線于點P,交線段CA于點M,連接PA、PB,設點E運動的時間為t(0<t<4)秒,求四邊形PBCA的面積S與t的函數(shù)關系式,并求出四邊形PBCA的最大面積;
(3)拋物線的對稱軸上是否存在一點H,使得△ABH是直角三角形?若存在,請直接寫出點H的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:∵A(8,0),D(﹣1,0),
設過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣8),將B(0,4)代入得﹣8a=4,
∴a=﹣ ,
∴拋物線的解析式為y=﹣ (x+1)(x﹣8)=﹣ x2+ x+4;
(2)解:△ABC中,AB=AC,AO⊥BC,則OB=OC=4,
∴C(0,﹣4).
由A(8,0)、B(0,4),得:直線AB:y=﹣ x+4;
依題意,知:OE=2t,即 E(2t,0);
∴P(2t,﹣2t2+7t+4)、Q(2t,﹣t+4),PQ=(﹣2t2+7t+4)﹣(﹣t+4)=﹣2t2+8t;
S=S△ABC+S△PAB= ×8×8+ ×(﹣2t2+8t)×8=﹣8t2+32t+32=﹣8(t﹣2)2+64;
∴當t=2時,S有最大值,且最大值為64;
(3)解:存在,
∵拋物線的對稱軸為:x= = ,
∴設H( ,m),
∵A(8,0),B(0,4),
∴AH2=(8﹣ )2+m2= +m2,AB2=82+42=80,BH2=( )2+(4﹣m)2=m2﹣8m+ ①當∠ABH=90°時,AH2=BH2+AB2,即 +m2=m2﹣8m+ +80,
解得:m=11,
∴H( ,11),
②當∠AHB=90°時,AH2+BH2=AB2, +m2+m2﹣8m+ =80,
解得:m=2± ,
∴H( ,2+ ),( ,2﹣ ),
③當∠BAH=90°時,AB2+AH2=HB2,即80+ +m2=m2﹣8m+ ,
解得:m=﹣9,
∴H( ,﹣9),
綜上所述,H( ,11)或( ,2+ )或( ,2﹣ )或( ,﹣9).
【解析】(1)根據(jù)A(8,0),D(-1,0),設過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-8),將Ba,進而求得拋物線的解析式;
(2)把四邊形PBCA可看作△ABC、△PBA兩部分;△ABC的面積是定值,求出△PBA的面積表達式;再求出S、t的函數(shù)關系式后,由函數(shù)的性質(zhì)可求得S的最大值;
(3)拋物線的對稱軸為再,根據(jù)兩點間的距離公式分三種情況:①當∠ABH=90°時,②當∠AHB=90°時,③當∠BAH=90°時,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.
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【題目】在2019年1月份的月歷表中,任意框出表中豎列上三個相鄰的數(shù)(如圖,如框出了10,17,24),則這三個數(shù)的和可能的是( )
A. 21B. 27C. 50D. 75
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【題目】長江汛期即將來臨,防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈,便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況.如圖,燈A射線自AM順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn),燈B射線自BP順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn),兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動的速度是a°/秒,燈B轉(zhuǎn)動的速度是b°/秒,且a、b滿足|a﹣3b|+(a+b﹣4)2=0.假定這一帶長江兩岸河堤是平行的,即PQ∥MN,且∠BAN=45°
(1)求a、b的值;
(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動20秒,燈A射線才開始轉(zhuǎn)動,在燈B射線到達BQ之前,A燈轉(zhuǎn)動幾秒,兩燈的光束互相平行?
(3)如圖,兩燈同時轉(zhuǎn)動,在燈A射線到達AN之前.若射出的光束交于點C,過C作CD⊥AC交PQ于點D,則在轉(zhuǎn)動過程中,= 。
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【題目】如圖a是長方形紙帶(提示:AD∥BC),將紙帶沿EF折疊成圖b,再沿GF折疊成圖c.
(1)若∠DEF=20°,則圖b中∠EGB=______,∠CFG=______;
(2)若∠DEF=20°,則圖c中∠EFC=______;
(3)若∠DEF=α,把圖c中∠EFC用α表示為______;
(4)若繼續(xù)按EF折疊成圖d,按此操作,最后一次折疊后恰好完全蓋住∠EFG,整個過程共折疊了9次,問圖a中∠DEF的度數(shù)是多少.
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【題目】2016年12月29日至31日,黔南州第十屆旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展大會在“中國長壽之鄉(xiāng)”﹣﹣羅甸縣舉行,從中尋找到商機的人不斷涌現(xiàn),促成了羅甸農(nóng)民工返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)熱潮.某“火龍果”經(jīng)營戶有A、B兩種“火龍果”促銷,若買2件A種“火龍果”和1件B種“火龍果”,共需120元;若買3件A種“火龍果”和2件B種“火龍果”,共需205元.
(1)設A,B兩種“火龍果”每件售價分別為a元、b元,求a、b的值;
(2)B種“火龍果”每件的成本是40元,根據(jù)市場調(diào)查:若按(1)中求出的單價銷售,該“火龍果”經(jīng)營戶每天銷售B種“火龍果”100件;若銷售單價每上漲1元,B種“火龍果”每天的銷售量就減少5件.
①求每天B種“火龍果”的銷售利潤y(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關系?
②求銷售單價為多少元時,B種“火龍果”每天的銷售利潤最大,最大利潤是多少?
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【題目】如圖,過A點的一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象相交于點B.
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)判斷點C(4,-2)是否在該一次函數(shù)的圖象上,說明理由;
(3)若該一次函數(shù)的圖象與x軸交于D點,求△BOD的面積.
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【題目】下列命題中,屬于假命題的是( )
A.有一個銳角相等的兩個直角三角形一定相似
B.對角線相等的菱形是正方形
C.拋物線Y=X2—20x+17的開口向上
D.在一次拋擲圖釘?shù)脑囼炛,若釘尖朝上的頻率為3/5,則釘尖朝上的概率也為3/5
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【題目】如圖,大樓AB右側(cè)有一障礙物,在障礙物的旁邊有一幢小樓DE,在小樓的頂端D處測得障礙物邊緣點C的俯角為30°,測得大樓頂端A的仰角為45°(點B,C,E在同一水平直線上),已知AB=80m,DE=10m,求障礙物B,C兩點間的距離(結(jié)果精確到0.1m)(參考數(shù)據(jù): ≈1.414, ≈1.732)
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【題目】如圖,已知CO1是△ABC的中線,過點O1作O1E1∥AC交BC于點E1 , 連接AE1交CO1于點O2;過點O2作O2E2∥AC交BC于點E2 , 連接AE2交CO1于點O3;過點O3作O3E3∥AC交BC于點E3 , …,如此繼續(xù),可以依次得到點O4 , O5 , …,On和點E4 , E5 , …,En . 則OnEn=AC.(用含n的代數(shù)式表示)
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