Question

如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=30°，AC=4，
（1）求∠BCD的度數(shù)；
（2）求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),垂徑定理,圓周角定理

專題：

分析：（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊的性質(zhì)對角互補(bǔ)可直接得出答案；
（2）根據(jù)AC是⊙O的直徑，得出∠ABC=∠D=90°，利用HL得出Rt△ABC≌Rt△ADC，從而得出∠BAC=∠DAC=

1

2

∠BAD=15°，連接OB，得出∠ABO=∠BAC，∠BOC=∠ABO+∠BAC根據(jù)AC的長，求出OB的長，過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，求出BE，根據(jù)三角形的面積公式得出S_△ABC，從而求出S_△ADC=S_△ABC，最后根據(jù)四邊形ABCD的面積=S_△ABC+S_△ACD即可得出答案．

解答：解：（1）∵∠BAD=30°，
∴∠BAD=180°-30°=150°；

（2）∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，

AC=AC AB=AD

，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠BAC=∠DAC=

1

2

∠BAD=

1

2

×30°=15°，
連接OB，則OA=OB，
∴∠ABO=∠BAC=15°，
∴∠BOC=∠ABO+∠BAC=15°+15°=30°，
∵AC=4，
∴OB=OA=

1

2

AC=

1

2

×4=2，
過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，
則BE=

1

2

OB=

1

2

×2=1，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BE=

1

2

×4×1=2，
∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∴S_△ADC=S_△ABC=2，
四邊形ABCD的面積=S_△ABC+S_△ACD=2+2=4．

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識點(diǎn)是圓內(nèi)接四邊的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、三角形的面積公式等，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線構(gòu)造出直角三角形．