Question

如圖，拋物線y=ax2 + bx + c 交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。

（1）求拋物線y= ax2 + bx + c 的解析式；

（2）求△AOC和△BOC的面積比；

（3）在對稱軸上是否存在一個P點(diǎn),使△PAC的周長最小。若存在，請你求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請你說明理由。

 

 

Answer 1

（1）y=x2-2x-3．（2）1：3；（3）存在，（1，-2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求得二次函數(shù)的解析式．

（2）由于兩三角形等高，那么面積比就等于底邊的比，據(jù)此求解即可．

（3）本題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間線段最短，可找出C點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，然后連接此點(diǎn)和A，那么這條直線與拋物線對稱軸的交點(diǎn)就是所求的P點(diǎn)．可先求出這條直線的解析式然后聯(lián)立拋物線對稱軸的解析式即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：：（1）∵A，B兩點(diǎn)關(guān)于x=1對稱，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），

根據(jù)題意得：

，

解得a=1，b=-2，c=-3．

∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3．

（2）△AOC和△BOC的面積分別為S△AOC=1 2 |OA|•|OC|，S△BOC=1 2 |OB|•|OC|，

而|OA|=1，|OB|=3，

∴S△AOC：S△BOC=|OA|：|OB|=1：3．

（3）存在一個點(diǎn)P．C點(diǎn)關(guān)于x=1對稱點(diǎn)坐標(biāo)C'為（2，-3），

令直線AC'的解析式為y=kx+b

∴，

∴k=-1，b=-1，即AC'的解析式為y=-x-1．

為x=1時，y=-2，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．